Trong không gian, cho hai điểm ${{A}(1 ;-3 ; 2)}$ và ${{B}(-2 ; 1...

Nhận xét: Avà B nằmkhác phía so với mặt phẳng (Oxy).
Gọi (P) là mặt phẳng qua ${A}$ và song song với mặt phẳng ${({Oxy}) \Rightarrow({P}): {z}=2}$.
${{B}\prime }$ đối xứng với ${({P})}$ qua mặt phẳng ${({Oxy}) \Rightarrow {B}\prime (-2 ; 1 ; 3)}$.
B là hình chiếu của B\prime trên mặt phẳng( ${{P}) \Rightarrow {B}_1(-2 ; 1 ; 2)}$.
Gọi ${A\prime =T_{\bar{M} N}
A. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A A\prime =1 \\ A A\prime / /(O x y)\end{array}\right.}$
${\Rightarrow {A}\prime }$ thuộc đường tròn ${({C})}$ có tâm ${{A}}$ và bán ${{kinh} {R}=1,({C})}$ nằm trên mặt phẳng ${({P})}$.
Ta có: ${|{AM}-{BN}|=\left|{A}\prime {N}-{BN}\right|=\left|{A}\prime {N}-{B}\prime {N}\right| \leq {A}\prime {B}\prime }$
${{AB}_1=5>{R} \Rightarrow {B}_1}$ nằm ngoài đường tròn ${({C})}$.
Do ${{A}\prime \in({P}), {B}\prime \notin({P}) \operatorname{mà}({P}) / /({Oxy})}$ suy ra ${{A}\prime {B}\prime }$ luôn cắtmặt phẳng ${({Oxy})}$.
Ta lại có: ${{A}\prime {B}\prime =\sqrt{{B}_1 {~B}^{\prime 2}+{A}\prime {B}_1^2}}$ mà ${{B}\prime {B}_1=1 ; {AB}_1=5 \Rightarrow {A}\prime {B}_{{max}}\prime \Leftrightarrow {A}\prime {B}_{1 {max}}={AB}_1+{R}=6}$
${\Rightarrow|{AM}-{BN}|_{\max }=\sqrt{37} \cdot}$ Dấu ${^{\prime \prime }="}$ "xảy ra khi ${{A}\prime }$ là giao điểm của ${{AB}_1}$ với đường tròn ${({C})}$
A ở giữa ${{A}\prime }$ và ${{B}_1}$ và ${{N}}$ là giao điểm của ${{A}\prime {B}\prime }$ với mặt phẳng ${({Oxy})}$.