Google
Câu hỏi: Trong không gian ${A}$, cho hai điểm ${\Delta: \dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z+1}{7}}$ và ${f(x)=27^{3 x^{2}-15 x+x y}-(x y+1)}$. Xét hai điểm ${a^{x} \geq x(a-1)+1}$ và ${f(x) \geq 26\left(3 x^{2}-15 x+x y\right)-x y-1=84 x^{2}+25 x y-390 x-1>0, \forall y \geq 16, \forall x \in\left(\dfrac{1}{3} ; 5\right)}$ thay đổi thuộc mặt phẳng ${(O x y)}$ sao cho ${M N=4}$. Giá trị lớn nhất của ${|A M-B N|}$ bằng
A. ${5 \sqrt{2}}$
B. ${3 \sqrt{13}}$.
C. ${f\left(\dfrac{1}{3}\right)=3^{y-14}-\dfrac{y}{3}-1<0, \forall y \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 15\}}$.
D. ${\Rightarrow y \in\{-2 ;-1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 15\}}$.
Dễ thấy ${A, B}$ nằm hai phía của mặt phẳng ${(O x y)}$. Gọi ${A^{\prime}}$ đối xứng với ${A}$ qua mặt phẳng ${(O x y)}$ suy ra ${A^{\prime}(1 ;-3 ;-2)}$
Gọi ${E}$ và ${F}$ lần lượt là hình chiếu của ${A^{\prime}}$ và ${B}$ lên mặt phẳng ${(O x y)}$, ta có
${E(1 ;-3 ; 0), F(-2 ; 1 ; 0) .}$ Do đó ${\overrightarrow{E F}=(-3 ; 4 ; 0) \Rightarrow E F=5}$
${A_{1}}$ là điểm thỏa mãn ${\overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{M N}=k \overrightarrow{E F}}$ ( tức là ${A A_{1} / / E F}$ )
$\Rightarrow \overrightarrow{A{{A}_{1}}}=-\dfrac{4}{5}\overline{EF}=-\dfrac{4}{5}(-3;4;0)=\left( \dfrac{12}{5};-\dfrac{16}{5};0 \right)(*)$
Gọi ${{A}_{1}}(x;y;z).$ Từ (*) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-1=\dfrac{12}{5} \\
y+3=-\dfrac{16}{5} \\
z-2=0 \\
\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=\dfrac{17}{5} \\
y=-\dfrac{31}{5}\Rightarrow {{A}_{1}}\left( \dfrac{17}{5};-\dfrac{31}{5};2 \right) \\
z=2 \\
\end{array} \right. \right.$
Ta có ${\overrightarrow{A_{1} B}=\left(-\dfrac{27}{5} ; \dfrac{36}{5} ;-6\right)}$
Do ${\overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{M N} \Rightarrow A M=A_{1} N}$
${
\Rightarrow T=|A M-B N|=\left|A_{1} N-B N\right| \leq A_{1} B=\sqrt{\left(-\dfrac{27}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{36}{5}\right)^{2}+(-6)^{2}}=3 \sqrt{13}
}$
A. ${5 \sqrt{2}}$
B. ${3 \sqrt{13}}$.
C. ${f\left(\dfrac{1}{3}\right)=3^{y-14}-\dfrac{y}{3}-1<0, \forall y \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 15\}}$.
D. ${\Rightarrow y \in\{-2 ;-1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 15\}}$.
Dễ thấy ${A, B}$ nằm hai phía của mặt phẳng ${(O x y)}$. Gọi ${A^{\prime}}$ đối xứng với ${A}$ qua mặt phẳng ${(O x y)}$ suy ra ${A^{\prime}(1 ;-3 ;-2)}$
Gọi ${E}$ và ${F}$ lần lượt là hình chiếu của ${A^{\prime}}$ và ${B}$ lên mặt phẳng ${(O x y)}$, ta có
${E(1 ;-3 ; 0), F(-2 ; 1 ; 0) .}$ Do đó ${\overrightarrow{E F}=(-3 ; 4 ; 0) \Rightarrow E F=5}$
${A_{1}}$ là điểm thỏa mãn ${\overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{M N}=k \overrightarrow{E F}}$ ( tức là ${A A_{1} / / E F}$ )
$\Rightarrow \overrightarrow{A{{A}_{1}}}=-\dfrac{4}{5}\overline{EF}=-\dfrac{4}{5}(-3;4;0)=\left( \dfrac{12}{5};-\dfrac{16}{5};0 \right)(*)$
Gọi ${{A}_{1}}(x;y;z).$ Từ (*) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-1=\dfrac{12}{5} \\
y+3=-\dfrac{16}{5} \\
z-2=0 \\
\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=\dfrac{17}{5} \\
y=-\dfrac{31}{5}\Rightarrow {{A}_{1}}\left( \dfrac{17}{5};-\dfrac{31}{5};2 \right) \\
z=2 \\
\end{array} \right. \right.$
Ta có ${\overrightarrow{A_{1} B}=\left(-\dfrac{27}{5} ; \dfrac{36}{5} ;-6\right)}$
Do ${\overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{M N} \Rightarrow A M=A_{1} N}$
${
\Rightarrow T=|A M-B N|=\left|A_{1} N-B N\right| \leq A_{1} B=\sqrt{\left(-\dfrac{27}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{36}{5}\right)^{2}+(-6)^{2}}=3 \sqrt{13}
}$
Đáp án B.