Trong không gian 0xyz, cho $A(-1;4;2)$, $B(3;2;1)$, $C(-2;0;2)$. Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và diện tích...

+ Vì $ABCD$ là hình thang cạnh đáy $AD$ nên ta có $AD//BC$. Gọi $h$ là khoảng cách giữa hai đáy, ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}h.BC$ và ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}h.(BC+AD)=\dfrac{1}{2}h.BC+\dfrac{1}{2}h.AD$
Theo giả thiết ta có: ${{S}_{ABCD}}=3{{S}_{\Delta ABC}}\Leftrightarrow $ $\dfrac{1}{2}h.BC+\dfrac{1}{2}h.AD=\dfrac{3}{2}h.BC\Leftrightarrow AD=2BC$
+ $\overrightarrow{BC}=(-5;-2;1),BC=\sqrt{25+4+1}=\sqrt{30}$.
Đường thẳng $AD$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{BC}=(-5;-2;1)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=-1-5t \\
& y=4-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R}) $. Tọa độ điểm $ D $ có dạng $ D(-1-5t;4-2t;2+t)$
+ $\overrightarrow{AD}=(-5t;-2t;t);AD=\sqrt{25{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}}=\left| t \right|\sqrt{30}$
$AD=2BC\Leftrightarrow \left| t \right|\sqrt{30}=2\sqrt{30}\Leftrightarrow \left| t \right|=2$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Với $t=2\Rightarrow D(-11;0;4)$, véc tơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên thỏa mãn $ABCD$ là hình thang.
Với $t=-2\Rightarrow D(9;8;0)$, véc tơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên không thỏa mãn $ABCD$ là hình thang.
Vậy có một điểm $D(-11;0;4)$ thỏa mãn đề bài.
Nhận xét: Ta cũng có thể suy ra $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}\Rightarrow t=2\Rightarrow D(-11,0,4)$ cho nhanh hơn.