Google
Câu hỏi: Trong không gian $0 x y z$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt cầu $(S):(x-4)^2+(y-5)^2+$ $(z-7)^2=2$. Hai điểm $A$ và $B$ thay đổi trên $(S)$ sao cho tiếp diện của $(S)$ tại $A$ và $B$ vuông góc với nhau. Đường thẳng qua $A$ song song với $d$ cắt mặt phẳng $(O x y)$ tại $M$, đường thẳng qua $B$ song song với $d$ cắt mặt phẳng $(O x y)$ tại $N$. Tìm giá trị lớn nhất của tồng $A M+B N$.
A. $7 \sqrt{6}+5 \sqrt{3}$.
B. $\sqrt{20}$.
C. $16 \sqrt{6}$.
D. $8 \sqrt{6}$.
A. $7 \sqrt{6}+5 \sqrt{3}$.
B. $\sqrt{20}$.
C. $16 \sqrt{6}$.
D. $8 \sqrt{6}$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4 ; 5 ; 7)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$.
Goi $K$ là trung điểm của $A B$.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}_d=(2 ; 1 ; 1)$, mặt phẳng $(0 x y)$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0 ; 0 ; 1)$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $d$ và $(0 x y)$.
Khi đó $\sin \varphi=\dfrac{\left|\vec{u}_d \cdot \vec{n}\right|}{\left|\vec{u}_d\right| \cdot|\vec{n}|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
Đường thẳng qua $K$ song song với $d$ cắt mặt phẳng $(\mathrm{O} x y)$ tại $P$.
Gọi $G$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng $(\mathrm{O} x y)$.
Ta có: $A M+B N=2 K P=2 \dfrac{K G}{\sin \varphi}=2 \sqrt{6} K G$.
Mặt khác $\widehat{A I B}$ là góc giữa hai tiếp diện vuông góc nên tam giác $I A B$ vuông tại $I$. Do đó $I K=\dfrac{1}{2} A B=$ 1 hay điểm $K$ nằm trên mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$ tâm $I(4 ; 5 ; 7)$ và bán kính $R^{\prime}=1$.
Khi đó $K G \leq I G+R^{\prime}=\mathrm{d}(I ;(\mathrm{O} x y))+R^{\prime}=7+1=8$ hay $A M+B N \leq 16 \sqrt{6}$.
Vậy $(A M+B N)_{\max }=16 \sqrt{6}$.
Goi $K$ là trung điểm của $A B$.
Khi đó $\sin \varphi=\dfrac{\left|\vec{u}_d \cdot \vec{n}\right|}{\left|\vec{u}_d\right| \cdot|\vec{n}|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
Đường thẳng qua $K$ song song với $d$ cắt mặt phẳng $(\mathrm{O} x y)$ tại $P$.
Gọi $G$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng $(\mathrm{O} x y)$.
Ta có: $A M+B N=2 K P=2 \dfrac{K G}{\sin \varphi}=2 \sqrt{6} K G$.
Mặt khác $\widehat{A I B}$ là góc giữa hai tiếp diện vuông góc nên tam giác $I A B$ vuông tại $I$. Do đó $I K=\dfrac{1}{2} A B=$ 1 hay điểm $K$ nằm trên mặt cầu $\left(S^{\prime}\right)$ tâm $I(4 ; 5 ; 7)$ và bán kính $R^{\prime}=1$.
Khi đó $K G \leq I G+R^{\prime}=\mathrm{d}(I ;(\mathrm{O} x y))+R^{\prime}=7+1=8$ hay $A M+B N \leq 16 \sqrt{6}$.
Đáp án C.