Google
Câu hỏi: . Trong khôn gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{14}{3}$ và đường thẳng $d:\ \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}.$ Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\ \left( {{x}_{0}}>0 \right)$ là điểm thuộc d sao cho từ A ta kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) và các tiếp điểm $B,\ C,\ D$ sao cho ABCD là tứ diện đều. Tính độ dài đoạn $OA.$
A. $OA=4\sqrt{3}.$
B. $OA=2\sqrt{2}.$
C. $OA=2\sqrt{3}.$
D. $OA=3.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{\dfrac{14}{3}}$
Vì AB là tiếp tuyến nên $AB\bot BI$, lại có $IB=IC=I\text{D}=R$ nên AI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Gọi $H=AI\cap \left( BC\text{D} \right)$, đặt $AB=a=C\text{D}\Rightarrow HB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\sin \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ mà $\Delta ABI$ vuông tại B nên
$AI.\sin \widehat{HBA}=BI=\sqrt{\dfrac{14}{3}}\Rightarrow AI=\sqrt{14}$
Gọi $A\left( 1+3t;2+2t;3+t \right)$ ta có $A{{I}^{2}}=14{{t}^{2}}=14$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& A\left( -2;0;2 \right)\left( loai \right) \\
& A\left( 4;4;4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OA=4\sqrt{3}$.
A. $OA=4\sqrt{3}.$
B. $OA=2\sqrt{2}.$
C. $OA=2\sqrt{3}.$
D. $OA=3.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{\dfrac{14}{3}}$
Vì AB là tiếp tuyến nên $AB\bot BI$, lại có $IB=IC=I\text{D}=R$ nên AI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Gọi $H=AI\cap \left( BC\text{D} \right)$, đặt $AB=a=C\text{D}\Rightarrow HB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\sin \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ mà $\Delta ABI$ vuông tại B nên
$AI.\sin \widehat{HBA}=BI=\sqrt{\dfrac{14}{3}}\Rightarrow AI=\sqrt{14}$
Gọi $A\left( 1+3t;2+2t;3+t \right)$ ta có $A{{I}^{2}}=14{{t}^{2}}=14$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& A\left( -2;0;2 \right)\left( loai \right) \\
& A\left( 4;4;4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OA=4\sqrt{3}$.
Đáp án A.