. Trong khôn gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Trong khôn gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{14}{3}

và đường thẳng

d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{1} .

Gọi

A (x_{0}; y_{0}; z_{0}) (x_{0} > 0)

là điểm thuộc d sao cho từ A ta kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) và các tiếp điểm

B, C, D

sao cho ABCD là tứ diện đều. Tính độ dài đoạn

O A .

A.

O A = 4 \sqrt{3} .

B.

O A = 2 \sqrt{2} .

C.

O A = 2 \sqrt{3} .

D.

O A = 3.

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; 2; 3)

và bán kính

R = \sqrt{\frac{14}{3}}

Vì AB là tiếp tuyến nên

A B ⊥ B I

, lại có

I B = I C = I D = R

nên AI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Gọi

H = A I \cap (B C D)

, đặt

A B = a = C D \Rightarrow H B = \frac{a \sqrt{3}}{3}

\sin \hat{H A B} = \frac{B H}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{3}

mà

Δ A B I

vuông tại B nên

A I . \sin \hat{H B A} = B I = \sqrt{\frac{14}{3}} \Rightarrow A I = \sqrt{14}

Gọi

A (1 + 3 t; 2 + 2 t; 3 + t)

ta có

A I^{2} = 14 t^{2} = 14

\Rightarrow [\begin{aligned} t = - 1 \\ t = 1 \end{aligned} \Rightarrow [\begin{aligned} A (- 2; 0; 2) (l o a i) \\ A (4; 4; 4) \end{aligned} \Rightarrow O A = 4 \sqrt{3}

.

Đáp án A.