Google
Câu hỏi: Trong khoảng không gian Oxyz, cho đường thẳng $d & :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-m}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right) & :{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất
A. $m=1$
B. $m=-\dfrac{1}{3}$
C. $m=0$
D. $m=\dfrac{1}{3}$
A. $m=1$
B. $m=-\dfrac{1}{3}$
C. $m=0$
D. $m=\dfrac{1}{3}$
Ta có $E{{F}_{\max }}\Leftrightarrow d{{\left[ I; \left( d \right) \right]}_{\min }}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}}; \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ nhỏ nhất
Với ${{M}_{0}}\left( 1; -1; m \right)\in d$. Ta có $\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}}; \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+4}}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}$
Suy ra $d\left[ I; \left( d \right) \right]=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{6}}$ mà $2{{m}^{2}}\ge 0\Rightarrow d\left[ I; \left( d \right) \right]\ge \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=0$
Với ${{M}_{0}}\left( 1; -1; m \right)\in d$. Ta có $\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}}; \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+4}}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}$
Suy ra $d\left[ I; \left( d \right) \right]=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{6}}$ mà $2{{m}^{2}}\ge 0\Rightarrow d\left[ I; \left( d \right) \right]\ge \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=0$
Đáp án C.