Google
Câu hỏi: Trong hình vẽ sau, các đường cong $\left( {{C}_{1}} \right):y={{a}^{x}},\left( {{C}_{2}} \right):y={{b}^{x}},\left( {{C}_{3}} \right):y={{c}^{x}}$ và đường thẳng $y=4,y=8$ tạo thành hình vuông $MNPQ$ có cạnh bằng $4.$ Biết rằng $abc={{2}^{\dfrac{x}{y}}}$ với $x,y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ và $\dfrac{x}{y}$ tối giản, giá trị của $x+y$ bằng?
A. $24.$
B. $5.$
C. $43.$
D. $19.$
Theo giả thiết và dựa vào hình vẽ, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}+4={{x}_{P}} \\
& {{b}^{{{x}_{M}}}}=4 \\
& {{b}^{{{x}_{P}}}}=8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}+4={{x}_{P}} \\
& {{b}^{{{x}_{M}}}}=4 \\
& {{b}^{4}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=8 \\
& {{x}_{P}}=12 \\
& b={{2}^{\dfrac{1}{4}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b={{2}^{\dfrac{1}{4}}}\left( 1 \right)$.
${{a}^{{{x}_{M}}}}=8\Leftrightarrow {{a}^{8}}=8\Leftrightarrow a={{2}^{\dfrac{3}{8}}}\left( 2 \right)$.
${{c}^{{{x}_{P}}}}=4\Leftrightarrow {{c}^{12}}=4\Leftrightarrow c={{2}^{\dfrac{1}{6}}}\left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, ta có $abc={{2}^{\dfrac{3}{8}}}{{.2}^{\dfrac{1}{4}}}{{.2}^{\dfrac{1}{6}}}\Leftrightarrow abc={{2}^{\dfrac{19}{24}}}.$ Vậy $x+y=19+24\Leftrightarrow x+y=43$.
A. $24.$
B. $5.$
C. $43.$
D. $19.$
Theo giả thiết và dựa vào hình vẽ, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}+4={{x}_{P}} \\
& {{b}^{{{x}_{M}}}}=4 \\
& {{b}^{{{x}_{P}}}}=8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}+4={{x}_{P}} \\
& {{b}^{{{x}_{M}}}}=4 \\
& {{b}^{4}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=8 \\
& {{x}_{P}}=12 \\
& b={{2}^{\dfrac{1}{4}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b={{2}^{\dfrac{1}{4}}}\left( 1 \right)$.
${{a}^{{{x}_{M}}}}=8\Leftrightarrow {{a}^{8}}=8\Leftrightarrow a={{2}^{\dfrac{3}{8}}}\left( 2 \right)$.
${{c}^{{{x}_{P}}}}=4\Leftrightarrow {{c}^{12}}=4\Leftrightarrow c={{2}^{\dfrac{1}{6}}}\left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, ta có $abc={{2}^{\dfrac{3}{8}}}{{.2}^{\dfrac{1}{4}}}{{.2}^{\dfrac{1}{6}}}\Leftrightarrow abc={{2}^{\dfrac{19}{24}}}.$ Vậy $x+y=19+24\Leftrightarrow x+y=43$.
Đáp án C.