Google
Câu hỏi: Trong hình vẽ bên dưới có đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. $b<c<a$.
B. $c<a<b$.
C. $a<b=c$.
D. $a<c<b$.
Cách 1: Đồ thị $y={{\log }_{c}}x$ đối xứng với $y={{c}^{x}}$ qua đường thẳng $y=x$.
Kẻ đường thẳng $y=2$ suy ra các đồ thị cắt đường thẳng $y=2$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$.
Ta có: ${{y}_{A}}=2\Rightarrow {{a}^{{{x}_{A}}}}=2\Rightarrow {{x}_{A}}={{\log }_{a}}2$
${{y}_{B}}=2\Rightarrow {{x}_{B}}={{\log }_{b}}2$
${{y}_{C}}=2\Rightarrow {{x}_{C}}={{\log }_{c}}2$
Theo đồ thị ta thấy ${{x}_{A}}<0<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}$
$\Rightarrow {{\log }_{a}}2<0<{{\log }_{b}}2<{{\log }_{c}}2\Rightarrow \dfrac{1}{{{\log }_{2}}a}<0<\dfrac{1}{{{\log }_{2}}b}<\dfrac{1}{{{\log }_{2}}c}$
$\Rightarrow {{\log }_{2}}a<0<{{\log }_{2}}b<{{\log }_{2}}c\Rightarrow 0<a<1<c<b$.
Cách 2: Dựa vào đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$, ta có:
Hàm số $y={{a}^{x}}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên ta có: $0<a<1$ (1)
Các hàm số $y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$ đồng biến trên tập xác định của nó nên: $\left\{ \begin{aligned}
& b>1 \\
& c>1 \\
\end{aligned} \right.$(2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<b \\
& a<c \\
\end{aligned} \right.$. Do đó loại hai phương án A, B.
Nếu $b=c$ thì ta có đồ thị hai hàm số $y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
Tuy nhiên nhìn dáng hai đồ thị hàm số $y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$ không có tính chất đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$. Do đó phương án đúng là D.
A. $b<c<a$.
B. $c<a<b$.
C. $a<b=c$.
D. $a<c<b$.
Cách 1: Đồ thị $y={{\log }_{c}}x$ đối xứng với $y={{c}^{x}}$ qua đường thẳng $y=x$.
Kẻ đường thẳng $y=2$ suy ra các đồ thị cắt đường thẳng $y=2$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$.
Ta có: ${{y}_{A}}=2\Rightarrow {{a}^{{{x}_{A}}}}=2\Rightarrow {{x}_{A}}={{\log }_{a}}2$
${{y}_{B}}=2\Rightarrow {{x}_{B}}={{\log }_{b}}2$
${{y}_{C}}=2\Rightarrow {{x}_{C}}={{\log }_{c}}2$
Theo đồ thị ta thấy ${{x}_{A}}<0<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}$
$\Rightarrow {{\log }_{a}}2<0<{{\log }_{b}}2<{{\log }_{c}}2\Rightarrow \dfrac{1}{{{\log }_{2}}a}<0<\dfrac{1}{{{\log }_{2}}b}<\dfrac{1}{{{\log }_{2}}c}$
$\Rightarrow {{\log }_{2}}a<0<{{\log }_{2}}b<{{\log }_{2}}c\Rightarrow 0<a<1<c<b$.
Cách 2: Dựa vào đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$, ta có:
Hàm số $y={{a}^{x}}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên ta có: $0<a<1$ (1)
Các hàm số $y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$ đồng biến trên tập xác định của nó nên: $\left\{ \begin{aligned}
& b>1 \\
& c>1 \\
\end{aligned} \right.$(2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<b \\
& a<c \\
\end{aligned} \right.$. Do đó loại hai phương án A, B.
Nếu $b=c$ thì ta có đồ thị hai hàm số $y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
Tuy nhiên nhìn dáng hai đồ thị hàm số $y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$ không có tính chất đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$. Do đó phương án đúng là D.
Đáp án D.