Google
Câu hỏi: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng vuông góc chung $\Delta $ của hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{2}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-3t \\
& y=t \\
& z=-1-3t \\
\end{aligned} \right..$
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}.$
B. $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}.$
C. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{-1}.$
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z+1}{1}.$
& x=-3t \\
& y=t \\
& z=-1-3t \\
\end{aligned} \right..$
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}.$
B. $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}.$
C. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{-1}.$
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z+1}{1}.$
Ta có: $M\left( 1=t;3-t;2+2t \right)\in {{d}_{1}},N\left( -3t';t';-1-3t' \right)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -3t'-1-t;t'-3+t;-3-3t'-2t \right)$.
${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-1;2 \right)$.
$\Leftrightarrow {{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -3;1;-3 \right)$.
MN là đoạn vuông góc chung của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1\left( -3t'-1-t \right)-1\left( t'-3+t \right)+2\left( -3-3t'-2t \right)=0 \\
& -3\left( -3t'-1-t \right)+1\left( t'-3+t \right)-3\left( -3-3t'-2t \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -10t'-6t-4=0 \\
& 19t'+10t+9=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 1;-3;-2 \right)$ và $M\left( 2;2;4 \right)$.
Vậy $MN:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
Lưu ý: MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ thì $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$.
${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-1;2 \right)$.
$\Leftrightarrow {{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -3;1;-3 \right)$.
MN là đoạn vuông góc chung của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1\left( -3t'-1-t \right)-1\left( t'-3+t \right)+2\left( -3-3t'-2t \right)=0 \\
& -3\left( -3t'-1-t \right)+1\left( t'-3+t \right)-3\left( -3-3t'-2t \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -10t'-6t-4=0 \\
& 19t'+10t+9=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t'=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 1;-3;-2 \right)$ và $M\left( 2;2;4 \right)$.
Vậy $MN:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
Lưu ý: MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ thì $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$.
Đáp án A.