Google
Câu hỏi: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $C\left( 3;2;3 \right)$, đường cao $AH$ nằm trên đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-3}{-2}$ và đường phân giác trong $BD$ của góc $B$ nằm trên đường thẳng ${{d}_{2}}$ có phương trình $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-3}{1}$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng
A. 4.
B. $2\sqrt{3}.$
C. $4\sqrt{3}$.
D. $8.$
A. 4.
B. $2\sqrt{3}.$
C. $4\sqrt{3}$.
D. $8.$
HD: Do $B\in {{d}_{2}}$ nên $B\left( 1+b;4-2b;3+b \right)$. Suy ra $\overrightarrow{CB}=\left( b-2;2-2b;b \right).$
${{d}_{1}}$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;-2 \right).$
$CB\bot AH\Rightarrow \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow b=0\Rightarrow B\left( 1;4;3 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{BC}=\left( 2;-2;0 \right).$
Do $A\in {{d}_{1}}$ nên $A\left( 2+a;3+a;3-2a \right)$. Suy ra $\overrightarrow{BA}=\left( a+1;a-1;-2a \right).$
${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2;1 \right).$
Vì $BD$ là phân giác trong góc $B$ nên $\cos \left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{2}}},\overrightarrow{BA} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}}{BC}=\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{2}}}.\overrightarrow{BA}}{BA}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( -2a \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left( 1-a \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-a\ge 0 \\
& 6{{a}^{2}}+2=2{{\left( 1-a \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 1 \\
& {{a}^{2}}+a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& a=0 \\
\end{aligned} \right..$
Với $a=0$ thì $\overrightarrow{BA}=\left( 1;-1;0 \right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên trường hợp này bị loại.
Với $a=-1$ thì $\overrightarrow{BA}=\left( 0;-2;2 \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ nên tồn tại tam giác $ABC.$
Dễ thấy $\overrightarrow{AC}=\left( 2;0;-2 \right)$ và $AB=BC=CA=2\sqrt{2}$ nên diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=2\sqrt{3}.$
${{d}_{1}}$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;-2 \right).$
$CB\bot AH\Rightarrow \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow b=0\Rightarrow B\left( 1;4;3 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{BC}=\left( 2;-2;0 \right).$
Do $A\in {{d}_{1}}$ nên $A\left( 2+a;3+a;3-2a \right)$. Suy ra $\overrightarrow{BA}=\left( a+1;a-1;-2a \right).$
${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2;1 \right).$
Vì $BD$ là phân giác trong góc $B$ nên $\cos \left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{2}}},\overrightarrow{BA} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}}{BC}=\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{2}}}.\overrightarrow{BA}}{BA}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( -2a \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left( 1-a \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-a\ge 0 \\
& 6{{a}^{2}}+2=2{{\left( 1-a \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 1 \\
& {{a}^{2}}+a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& a=0 \\
\end{aligned} \right..$
Với $a=0$ thì $\overrightarrow{BA}=\left( 1;-1;0 \right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên trường hợp này bị loại.
Với $a=-1$ thì $\overrightarrow{BA}=\left( 0;-2;2 \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ nên tồn tại tam giác $ABC.$
Dễ thấy $\overrightarrow{AC}=\left( 2;0;-2 \right)$ và $AB=BC=CA=2\sqrt{2}$ nên diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=2\sqrt{3}.$
Đáp án B.