Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $C\left( 3;2;3...

HD: Do $B\in d_2$ nên $B(1+b;4-2b;3+b)$. Suy ra $\overrightarrow{CB}=(b-2;2-2b;b).$
$d_1$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;1;-2).$
$CB\mathrm{\perp }AH\Rightarrow \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{u_1}=0\iff b=0\Rightarrow B(1;4;3)$. Suy ra $\overrightarrow{BC}=(2;-2;0).$
Do $A\in d_1$ nên $A(2+a;3+a;3-2a)$. Suy ra $\overrightarrow{BA}=(a+1;a-1;-2a).$
$d_2$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=(1;-2;1).$
Vì $BD$ là phân giác trong góc $B$ nên $\cos (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{u_2})=\cos (\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{BA})$
$\iff {\displaystyle \frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{u_2}}{BC}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{u_2}.\overrightarrow{BA}}{BA}}\iff \sqrt{{(a+1)}^2+{(a-1)}^2+{(-2a)}^2}=\sqrt{2}(1-a)$
$\iff \{\begin{array}{rl}& 1-a\ge 0\\ & 6a^2+2=2{(1-a)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a\le 1\\ & a^2+a=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& a=-1\\ & a=0\end{array}.$
Với $a=0$ thì $\overrightarrow{BA}=(1;-1;0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{BC}$ nên trường hợp này bị loại.
Với $a=-1$ thì $\overrightarrow{BA}=(0;-2;2)$ không cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ nên tồn tại tam giác $ABC.$
Dễ thấy $\overrightarrow{AC}=(2;0;-2)$ và $AB=BC=CA=2\sqrt{2}$ nên diện tích tam giác $ABC$ bằng ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}.{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=2\sqrt{3}.$