Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho Parabol $\left( P...

The Knowledge · 22/2/22

Câu hỏi: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho Parabol

(P) : y = x^{2}

và hai đường thẳng

y = a, y = b (0 < a < b)

(hình vẽ). Gọi

S_{1}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol

(P)

, đường thẳng

y = a

và đường thẳng

y = b

(phần gạch chéo) và

S_{2}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

(P)

và đường thẳng

y = a

(phần tô đậm). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì

S_{1} = S_{2}

?

A.

b = \sqrt[3]{4 a}

B.

b = \sqrt[3]{2 a}

C.

b = \sqrt[3]{3 a}

D.

b = \sqrt[3]{6 a}

Ta có:

x^{2} = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{a} \Rightarrow S_{2} = 2 \int_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^{2}) d x = {2 (a x - \frac{x^{3}}{3}) |}_{0}^{\sqrt{a}} = \frac{4 a \sqrt{a}}{3}

.
Lại có:

S_{1} + S_{2} = 2 \int_{0}^{\sqrt{b}} (b - x^{2}) d x = \frac{4 b \sqrt{b}}{3}

.
Để

S_{1} = S_{2} \Leftrightarrow S_{1} + S_{2} = 2 S_{2} \Leftrightarrow \frac{4 b \sqrt{b}}{3} = 2. \frac{4 a \sqrt{a}}{3} \Leftrightarrow b^{3} = 4 a^{3} \Leftrightarrow b = \sqrt[3]{4 a}

.

Đáp án A.