Google
Câu hỏi: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho Parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$ và hai đường thẳng $y=a,y=b (0<a<b)$ (hình vẽ). Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $(P)$, đường thẳng $y=a$ và đường thẳng $y=b$ (phần gạch chéo) và ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $y=a$ (phần tô đậm). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ ?
A. $b=\sqrt[3]{4a}$
B. $b=\sqrt[3]{2a}$
C. $b=\sqrt[3]{3a}$
D. $b=\sqrt[3]{6a}$
B. $b=\sqrt[3]{2a}$
C. $b=\sqrt[3]{3a}$
D. $b=\sqrt[3]{6a}$
Ta có: ${{x}^{2}}=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}\Rightarrow {{S}_{2}}=2\int\limits_{0}^{\sqrt{a}}{\left( a-{{x}^{2}} \right)dx}=\left. 2\left( ax-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{\sqrt{a}}=\dfrac{4a\sqrt{a}}{3}$.
Lại có: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=2\int\limits_{0}^{\sqrt{b}}{\left( b-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{4b\sqrt{b}}{3}$.
Để ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}=2{{S}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{4b\sqrt{b}}{3}=2.\dfrac{4a\sqrt{a}}{3}\Leftrightarrow {{b}^{3}}=4{{a}^{3}}\Leftrightarrow b=\sqrt[3]{4a}$.
Lại có: ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=2\int\limits_{0}^{\sqrt{b}}{\left( b-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{4b\sqrt{b}}{3}$.
Để ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}=2{{S}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{4b\sqrt{b}}{3}=2.\dfrac{4a\sqrt{a}}{3}\Leftrightarrow {{b}^{3}}=4{{a}^{3}}\Leftrightarrow b=\sqrt[3]{4a}$.
Đáp án A.