Google
Câu hỏi: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 1;4;2 \right),B\left( -1;2;4 \right)$ đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5-4t \\
& y=2+2t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right.$ và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{2}$.
& x=5-4t \\
& y=2+2t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right.$ và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{2}$.
Cách 1:
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;2 \right),AB=2\sqrt{3}$.
Phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+{t}' \\
& y=4+{t}' \\
& z=2-{t}' \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi N là hình chiếu của M lên trên đường thẳng AB. Khi đó ${{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}AB.MN$
Suy ra, ${{S}_{AMB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất, hay MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và d.
$M\in d\Rightarrow M\left( 5-4t;2+2t;4+t \right),N\in AB\Rightarrow N\left( 1+{t}';4+{t}';2-{t}' \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 4t+{t}'-4;-2t+{t}'+2;-t-{t}'-2 \right)$.
Vì MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và d nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{AB}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t+{t}'=0 \\
& -21t-3{t}'+18=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {t}'=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN=\sqrt{6}$.
$\Rightarrow \min {{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{3}.\sqrt{6}=3\sqrt{2}\left( \tilde{n}v\tilde{n}t \right)$.
Cách 2:
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;2 \right),M\in d\Rightarrow M\left( 5-4t;2+2t;4+t \right)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 4-4t;-2+2t;2+t \right)$.
${{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\left| \left( -6t;12-6t;12-12t \right) \right|=3\sqrt{{{t}^{2}}+{{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}}$
$=3\sqrt{6{{t}^{2}}-12t+8}=3\sqrt{6{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}\ge 3\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=1$ hay $M\left( 1;4;5 \right)$.
Vậy $\min {{S}_{AMB}}=3\sqrt{2}\left( dvdt \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;2 \right),AB=2\sqrt{3}$.
Phương trình đường thẳng $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+{t}' \\
& y=4+{t}' \\
& z=2-{t}' \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi N là hình chiếu của M lên trên đường thẳng AB. Khi đó ${{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}AB.MN$
Suy ra, ${{S}_{AMB}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất, hay MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và d.
$M\in d\Rightarrow M\left( 5-4t;2+2t;4+t \right),N\in AB\Rightarrow N\left( 1+{t}';4+{t}';2-{t}' \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 4t+{t}'-4;-2t+{t}'+2;-t-{t}'-2 \right)$.
Vì MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và d nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{AB}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t+{t}'=0 \\
& -21t-3{t}'+18=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {t}'=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN=\sqrt{6}$.
$\Rightarrow \min {{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{3}.\sqrt{6}=3\sqrt{2}\left( \tilde{n}v\tilde{n}t \right)$.
Cách 2:
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;2 \right),M\in d\Rightarrow M\left( 5-4t;2+2t;4+t \right)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 4-4t;-2+2t;2+t \right)$.
${{S}_{AMB}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\left| \left( -6t;12-6t;12-12t \right) \right|=3\sqrt{{{t}^{2}}+{{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}}$
$=3\sqrt{6{{t}^{2}}-12t+8}=3\sqrt{6{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}\ge 3\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=1$ hay $M\left( 1;4;5 \right)$.
Vậy $\min {{S}_{AMB}}=3\sqrt{2}\left( dvdt \right)$.
Đáp án C.