Trong hệ trục tọa độ $O x y z$ cho 3 điểm $A\left( 5 ; -2;0 \right) ...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Trong hệ trục tọa độ

O x y z

cho 3 điểm

A (5; - 2; 0), B (4; 5; - 2)

và

C (0; 3; 2)

. Điểm

M

di
chuyển trên trục

O x

. Đặt

Q = 2 | \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} | + 3 | \vec{M B} + \vec{M C} |

. Biết giá trị nhỏ nhất của

Q

có dạng

a \sqrt{b}

trong đó

a, b \in N

và

b

là số nguyên tố. Tính

a + b

.
A.

38

.
B.

23

.
C.

43

.
D.

18

.

Ta có

Q = 2 | \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} | + 3 | \vec{M B} + \vec{M C} | = 2 | 3 + \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} | + 3 | 2 \vec{M I} + \vec{I B} + \vec{I C} |

Với

G (3; 2; 0)

là trọng tâm của tam giác

A B C

và

I (2; 4; 0)

là trung điểm

B C

, ta có:

Q = 2 | 3 | + 3 | 2 \vec{M I} | = 6 (M G + M I)

,
Do

G

và

I

nằm cùng phía so với

O x

nên gọi

G^{'} (3; - 2; 0)

là điểm đối xứng của

G

qua

O x

.
Khi đó

Q = 2 | 3 | + 3 | 2 \vec{M I} | = 6 (M G + M I) = 6 (M G^{'} + M I) \geq 6 G^{'} I = 6 \sqrt{37}

.
Đẳng thức xảy ra khi

M

là giao điểm của

G^{'} I

và

O x

.

Đáp án C.

Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A\left( 5 ; -2;0 \right) ...