Google
Câu hỏi: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A\left( 5 ; -2;0 \right) , B\left( 4 ; 5;-2 \right)$ và $C\left( 0 ; 3;2 \right)$. Điểm $M$ di
chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.
A. $38$.
B. $23$.
C. $43$.
D. $18$.
chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.
A. $38$.
B. $23$.
C. $43$.
D. $18$.
Ta có $Q=2\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|+3\left| \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=2\left| 3+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right|+3\left| 2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|$
Với $G\left( 3;2;0 \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $I\left( 2;4;0 \right)$ là trung điểm $BC$, ta có:
$Q=2\left| 3 \right|+3\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=6\left( MG+MI \right)$,
Do $G$ và $I$ nằm cùng phía so với $Ox$ nên gọi $G'\left( 3;-2;0 \right)$ là điểm đối xứng của $G$ qua $Ox$.
Khi đó $Q=2\left| 3 \right|+3\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=6\left( MG+MI \right)=6\left( MG'+MI \right)\ge 6G'I=6\sqrt{37}$.
Đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $G'I$ và $Ox$.
Với $G\left( 3;2;0 \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $I\left( 2;4;0 \right)$ là trung điểm $BC$, ta có:
$Q=2\left| 3 \right|+3\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=6\left( MG+MI \right)$,
Do $G$ và $I$ nằm cùng phía so với $Ox$ nên gọi $G'\left( 3;-2;0 \right)$ là điểm đối xứng của $G$ qua $Ox$.
Khi đó $Q=2\left| 3 \right|+3\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=6\left( MG+MI \right)=6\left( MG'+MI \right)\ge 6G'I=6\sqrt{37}$.
Đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $G'I$ và $Ox$.
Đáp án C.