Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vuông góc chung $\Delta $ của hai đường thẳng
${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{2}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-3t \\
& y=t \\
& z=-1-3t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
B. $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z+1}{1}$.
${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z-2}{2}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-3t \\
& y=t \\
& z=-1-3t \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
B. $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z+1}{1}$.
Gọi $\Delta \cap {{d}_{1}}=M\left( 1+{t}';3-{t}';2+2{t}' \right),\Delta \cap {{d}_{2}}=N\left( -3t;t;-1-3t \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -3t-1-{t}';t-3+{t}';-3-3t-2{t}' \right)$.
${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt có 2 véctơ chỉ phương là ${{\overrightarrow{u}}_{1}}=\left( 1;-1;2 \right),{{\overrightarrow{u}}_{2}}=\left( -3;1;-3 \right)$.
Vì $\Delta $ là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{1}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6{t}'-10t=4 \\
& 10{t}'+19t=-9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow M\left( 2;2;4 \right),N\left( 3;-1;2 \right),\overrightarrow{MN}=\left( 1;-3;-2 \right)$
Vậy phương trình $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -3t-1-{t}';t-3+{t}';-3-3t-2{t}' \right)$.
${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt có 2 véctơ chỉ phương là ${{\overrightarrow{u}}_{1}}=\left( 1;-1;2 \right),{{\overrightarrow{u}}_{2}}=\left( -3;1;-3 \right)$.
Vì $\Delta $ là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{1}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.{{\overrightarrow{u}}_{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -6{t}'-10t=4 \\
& 10{t}'+19t=-9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow M\left( 2;2;4 \right),N\left( 3;-1;2 \right),\overrightarrow{MN}=\left( 1;-3;-2 \right)$
Vậy phương trình $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-4}{-2}$.
Đáp án A.