Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;-2;3 \right),B\left( -1;-2;1 \right),C\left( 1;0;1 \right).$ Gọi $M$ là một điểm di động trên mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z+2=0$ sao cho hình chiếu vuông góc của $M$ lên các cạnh $AC,AB,BC$ lần lượt là $H,K,E.$ Hỏi có bao nhiêu điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $T=A{{K}^{2}}+B{{E}^{2}}+C{{H}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 3
B. vô số.
C. 1
D. 2.
A. 3
B. vô số.
C. 1
D. 2.
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}-2}=2.$
Mà $AB=AC=BC=2\sqrt{2}$ hay tam giác $ABC$ đều. Và $A,B,C\in \left( S \right)$.
Gọi $G\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Kẻ các đường kính $CD,AF,BQ.$
Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $\left( ABC \right)$, $J$ nằm trong hình lục giác đều $ADBFCQ.$
* Với $J$ trùng với một trong 3 điểm $A,B,C$ hay $M$ trùng với một trong 3 điểm $A,B,C.$
Ta có $T=A{{K}^{2}}+B{{E}^{2}}+C{{H}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=10$
* Với $J$ không trùng với 3 điểm $A,B,C.$
Ta có $T=A{{K}^{2}}+B{{E}^{2}}+C{{H}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( AK+BE+CH \right)}^{2}}}{3}=\dfrac{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}}{3}=6.$
Dấu bằng xảy ra khi $AK=BE=CH.$
Suy ra ${{T}_{\min }}=6$ khi $J$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ hay $MA=MB=MC.$
Vậy có 2 điểm $M$ cần tìm.
Mà $AB=AC=BC=2\sqrt{2}$ hay tam giác $ABC$ đều. Và $A,B,C\in \left( S \right)$.
Gọi $G\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Kẻ các đường kính $CD,AF,BQ.$
Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $\left( ABC \right)$, $J$ nằm trong hình lục giác đều $ADBFCQ.$
* Với $J$ trùng với một trong 3 điểm $A,B,C$ hay $M$ trùng với một trong 3 điểm $A,B,C.$
Ta có $T=A{{K}^{2}}+B{{E}^{2}}+C{{H}^{2}}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=10$
* Với $J$ không trùng với 3 điểm $A,B,C.$
Ta có $T=A{{K}^{2}}+B{{E}^{2}}+C{{H}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( AK+BE+CH \right)}^{2}}}{3}=\dfrac{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}}{3}=6.$
Dấu bằng xảy ra khi $AK=BE=CH.$
Suy ra ${{T}_{\min }}=6$ khi $J$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ hay $MA=MB=MC.$
Vậy có 2 điểm $M$ cần tìm.
Đáp án D.