Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x-2}{3}+\dfrac{y-1}{2}+\dfrac{z-4}{-6}=1$ và $\left( Q \right):x+2y+3z+7=0$. Tính tang góc tạo bởi hai mặt phẳng đã cho.
A. $\dfrac{3}{\sqrt{19}}$
B. $\dfrac{3}{5\sqrt{19}}$.
C. $\dfrac{5}{3\sqrt{19}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{19}}{5}$.
A. $\dfrac{3}{\sqrt{19}}$
B. $\dfrac{3}{5\sqrt{19}}$.
C. $\dfrac{5}{3\sqrt{19}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{19}}{5}$.
$\left( P \right):\dfrac{x-2}{3}+\dfrac{y-1}{2}+\dfrac{z-4}{-6}=1\Leftrightarrow \left( P \right):2x+3y-z-9=0$
$\Rightarrow $ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là: ${{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;3;-1 \right)$
$\left( Q \right):x+2y+3z+7=0\Rightarrow {{\vec{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 1;2;3 \right)$
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
$\Rightarrow {{0}^{0}}\le \alpha \le {{90}^{0}}$
Ta có: $\cos \alpha =\dfrac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}.{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1+3.2+\left( -1 \right).3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{5}{14}$
${{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1=\dfrac{171}{25}\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{3\sqrt{19}}{5}$.
$\Rightarrow $ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là: ${{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;3;-1 \right)$
$\left( Q \right):x+2y+3z+7=0\Rightarrow {{\vec{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 1;2;3 \right)$
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
$\Rightarrow {{0}^{0}}\le \alpha \le {{90}^{0}}$
Ta có: $\cos \alpha =\dfrac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}.{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1+3.2+\left( -1 \right).3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{5}{14}$
${{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1=\dfrac{171}{25}\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{3\sqrt{19}}{5}$.
Đáp án D.