Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm $M\left( 1;-1;2 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right. $, $ {{d}_{2}} $: $ \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1} $. Đường thẳng $ \Delta $ đi qua M và cắt hai đường thẳng $ {{d}_{1}} $, $ {{d}_{2}} $ có vectơ chỉ phương là $ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( 1;a;b \right) $, tính $ a+b$:
A. $a+b=-1$.
B. $a+b=-2$.
C. $a+b=2$.
D. $a+b=1$.
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right. $, $ {{d}_{2}} $: $ \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{1} $. Đường thẳng $ \Delta $ đi qua M và cắt hai đường thẳng $ {{d}_{1}} $, $ {{d}_{2}} $ có vectơ chỉ phương là $ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( 1;a;b \right) $, tính $ a+b$:
A. $a+b=-1$.
B. $a+b=-2$.
C. $a+b=2$.
D. $a+b=1$.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ với ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$
Vì $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( {{t}_{1}};1-{{t}_{1}};-1 \right)$ ; $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( -1+2{{t}_{2}};1+{{t}_{2}};-2+{{t}_{2}} \right)$
$M\in \Delta \Leftrightarrow $ M, A, B thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}$ $\left( 1 \right)$
$\overrightarrow{MA}=\left( {{t}_{1}}-1;2-{{t}_{1}};-3 \right)$ ; $\overrightarrow{MB}=\left( 2{{t}_{2}}-2;{{t}_{2}}+2;{{t}_{2}}-4 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}-1=k\left( 2{{t}_{2}}-2 \right) \\
& 2-{{t}_{1}}=k\left( {{t}_{2}}+2 \right) \\
& -3=k\left( {{t}_{2}}-4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}-2k{{t}_{2}}+2k=1 \\
& -{{t}_{1}}-k{{t}_{2}}-2k=-2 \\
& k{{t}_{2}}-4k=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& k{{t}_{2}}=\dfrac{1}{3} \\
& k=\dfrac{5}{6} \\
\end{aligned} \right.$
Từ ${{t}_{1}}=0\Rightarrow A\left( 0;1;-1 \right)$. Do đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm A và M nên một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{AM}=\left( 1;-2;3 \right)$
Vậy $a=-2$, $b=3\Rightarrow a+b=1$
Vì $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( {{t}_{1}};1-{{t}_{1}};-1 \right)$ ; $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( -1+2{{t}_{2}};1+{{t}_{2}};-2+{{t}_{2}} \right)$
$M\in \Delta \Leftrightarrow $ M, A, B thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}$ $\left( 1 \right)$
$\overrightarrow{MA}=\left( {{t}_{1}}-1;2-{{t}_{1}};-3 \right)$ ; $\overrightarrow{MB}=\left( 2{{t}_{2}}-2;{{t}_{2}}+2;{{t}_{2}}-4 \right)$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}-1=k\left( 2{{t}_{2}}-2 \right) \\
& 2-{{t}_{1}}=k\left( {{t}_{2}}+2 \right) \\
& -3=k\left( {{t}_{2}}-4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}-2k{{t}_{2}}+2k=1 \\
& -{{t}_{1}}-k{{t}_{2}}-2k=-2 \\
& k{{t}_{2}}-4k=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& k{{t}_{2}}=\dfrac{1}{3} \\
& k=\dfrac{5}{6} \\
\end{aligned} \right.$
Từ ${{t}_{1}}=0\Rightarrow A\left( 0;1;-1 \right)$. Do đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm A và M nên một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{AM}=\left( 1;-2;3 \right)$
Vậy $a=-2$, $b=3\Rightarrow a+b=1$
Đáp án D.