Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ $Oxy$, parabol $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$ chia đường tròn tâm $O$ ( $O$ là gốc tọa độ) bán kính $r=2\sqrt{2}$ thành 2 phần, diện tích phần nhỏ bằng:
A. $2\pi +\dfrac{3}{4}$.
B. $2\pi +\dfrac{4}{3}$.
C. $2\pi -\dfrac{4}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
A. $2\pi +\dfrac{3}{4}$.
B. $2\pi +\dfrac{4}{3}$.
C. $2\pi -\dfrac{4}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
Phương trình đường tròn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8$.
Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{8-{{x}^{2}}}$.
.
Parabol chia hình tròn giới hạn bởi đường tròn $\left( C \right)$ thành hai phần. Gọi $S$ là phần diện tích giới hạn bởi $y=\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ và parapol $\left( P \right):y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$ $\sqrt{8-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ta tính được $S$ như sau.
$S=\int\limits_{-2}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}\text{d}x}-\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\text{d}x}$.
Tính $I=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}\text{d}x}$.
Đặt $t=2\sqrt{2}\sin x\Rightarrow \text{d}t=2\sqrt{2}\cos x.\text{d}x$, ta có.
$I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 8\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos t \right)\text{d}t}$ $=4\int\limits_{-\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)\text{d}t}$ $=\left. \left( 4t+2\sin 2t \right) \right|_{-\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}}=2\pi +4$.
Ta có: $\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\text{d}x=\left. \dfrac{{{x}^{3}}}{6} \right|_{-2}^{2}=\dfrac{8}{3}}$.
Suy ra $S=2\pi +\dfrac{4}{3}$.
Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{8-{{x}^{2}}}$.
Parabol chia hình tròn giới hạn bởi đường tròn $\left( C \right)$ thành hai phần. Gọi $S$ là phần diện tích giới hạn bởi $y=\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ và parapol $\left( P \right):y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$ $\sqrt{8-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ta tính được $S$ như sau.
$S=\int\limits_{-2}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}\text{d}x}-\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\text{d}x}$.
Tính $I=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}\text{d}x}$.
Đặt $t=2\sqrt{2}\sin x\Rightarrow \text{d}t=2\sqrt{2}\cos x.\text{d}x$, ta có.
$I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 8\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos t \right)\text{d}t}$ $=4\int\limits_{-\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)\text{d}t}$ $=\left. \left( 4t+2\sin 2t \right) \right|_{-\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}}=2\pi +4$.
Ta có: $\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\text{d}x=\left. \dfrac{{{x}^{3}}}{6} \right|_{-2}^{2}=\dfrac{8}{3}}$.
Suy ra $S=2\pi +\dfrac{4}{3}$.
Đáp án B.