Google
Câu hỏi: Trong hệ tọa độ $0 x y z$, cho điểm $A(2 ; 1 ; 3)$, mặt phẳng $(\alpha): 2 x+2 y-z-3=0$ và mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-6 x-4 y-10 z+2=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $M, N$. Độ dài đoạn $M N$ nhỏ nhất là
A. $\dfrac{3 \sqrt{30}}{2}$.
B. $2 \sqrt{30}$.
C. $\sqrt{30}$.
D. $\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
+ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3 ; 2 ; 5)$ và bán kính $R=6$.
Ta có: $A \in(\alpha), I A=\sqrt{6}<R$ nên $(S) \cap(\alpha)=(C)$ và $A$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Suy ra: Mọi đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ đều cắt $(S)$ tại hai điểm $M, N$. ( $M, N$ cũng chính là giao điểm của $\Delta$ và $(C))$.
+ Vì $d(I, \Delta) \leq I A$ nên ta có: $M N=2 \sqrt{R^2-d^2(I, \Delta)} \geq 2 \sqrt{R^2-I A^2}=2 \sqrt{30}$.
Dấu " = " xảy ra khi $A$ là điểm chính giữa dây cung $M N$.
Vậy độ dài đoạn $M N$ nhỏ nhất là $M N$ bằng $2 \sqrt{\mathbf{3 0}}$.
A. $\dfrac{3 \sqrt{30}}{2}$.
B. $2 \sqrt{30}$.
C. $\sqrt{30}$.
D. $\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
Ta có: $A \in(\alpha), I A=\sqrt{6}<R$ nên $(S) \cap(\alpha)=(C)$ và $A$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Suy ra: Mọi đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ đều cắt $(S)$ tại hai điểm $M, N$. ( $M, N$ cũng chính là giao điểm của $\Delta$ và $(C))$.
+ Vì $d(I, \Delta) \leq I A$ nên ta có: $M N=2 \sqrt{R^2-d^2(I, \Delta)} \geq 2 \sqrt{R^2-I A^2}=2 \sqrt{30}$.
Dấu " = " xảy ra khi $A$ là điểm chính giữa dây cung $M N$.
Vậy độ dài đoạn $M N$ nhỏ nhất là $M N$ bằng $2 \sqrt{\mathbf{3 0}}$.
Đáp án B.