Google
Câu hỏi: Trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|$ gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức $w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ là
A. $\left| w \right|=2\sqrt{2}$.
B. $\left| w \right|=2$.
C. $\left| w \right|=\sqrt{2}$.
D. $\left| w \right|=1+\sqrt{2}$.
A. $\left| w \right|=2\sqrt{2}$.
B. $\left| w \right|=2$.
C. $\left| w \right|=\sqrt{2}$.
D. $\left| w \right|=1+\sqrt{2}$.
Đặt $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{\left( a+bi \right)}^{2}}+1 \right|=2\left| a+bi \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1+2abi \right|=2\left| a+bi \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+1-2{{a}^{2}}-6{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1 \right)}^{2}}-4{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1-2b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2b \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1-2b=0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2b=0 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1-2b=0$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=2$.
Khi đó tập hợp điểm $M\left( a;b \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm ${{I}_{1}}\left( 0;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$, giao điểm của $OI$ (trục tung) với đường tròn là ${{M}_{1}}\left( 0;\sqrt{2}+1 \right)$ và ${{M}_{2}}\left( 0;1-\sqrt{2} \right)$
$\Rightarrow w=\left( \sqrt{2}+1 \right)i+\left( 1-\sqrt{2} \right)i$ $\Rightarrow w=2\sqrt{2}i$ $\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{2}$.
TH2: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2b=0$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=2$.
Khi đó tập hợp điểm $M\left( a;b \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm ${{I}_{2}}\left( 0;-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$, giao điểm của $OI$ (trục tung) với đường tròn là ${{M}_{3}}\left( 0;\sqrt{2}-1 \right)$ và ${{M}_{4}}\left( 0;-\sqrt{2}-1 \right)$
$\Rightarrow w=\left( \sqrt{2}-1 \right)i+\left( -1-\sqrt{2} \right)i$ $\Rightarrow w=2\sqrt{2}i$ $\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{2}$.
$\Leftrightarrow \left| {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1+2abi \right|=2\left| a+bi \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+1-2{{a}^{2}}-6{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1 \right)}^{2}}-4{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1-2b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2b \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1-2b=0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2b=0 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1-2b=0$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=2$.
Khi đó tập hợp điểm $M\left( a;b \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm ${{I}_{1}}\left( 0;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$, giao điểm của $OI$ (trục tung) với đường tròn là ${{M}_{1}}\left( 0;\sqrt{2}+1 \right)$ và ${{M}_{2}}\left( 0;1-\sqrt{2} \right)$
$\Rightarrow w=\left( \sqrt{2}+1 \right)i+\left( 1-\sqrt{2} \right)i$ $\Rightarrow w=2\sqrt{2}i$ $\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{2}$.
TH2: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1+2b=0$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=2$.
Khi đó tập hợp điểm $M\left( a;b \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm ${{I}_{2}}\left( 0;-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$, giao điểm của $OI$ (trục tung) với đường tròn là ${{M}_{3}}\left( 0;\sqrt{2}-1 \right)$ và ${{M}_{4}}\left( 0;-\sqrt{2}-1 \right)$
$\Rightarrow w=\left( \sqrt{2}-1 \right)i+\left( -1-\sqrt{2} \right)i$ $\Rightarrow w=2\sqrt{2}i$ $\Rightarrow \left| w \right|=2\sqrt{2}$.
Đáp án A.