Google
Câu hỏi: Trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| \dfrac{\left( 12-5i \right)z+17+7i}{z-2-i} \right|=13$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.
A. $\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
Điều kiện: $z\ne 2+i$.
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left| 12-5i \right|.\left| z+\dfrac{17+7i}{12-5i} \right|=13\left| z-2-i \right|\Leftrightarrow \left| z+1+i \right|=\left| z-2-i \right|$ $\left( 1 \right)$.
Gọi $M\left( x ;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$. Vì $z\ne 2+i$ nên $M\ne N\left( 2 ;1 \right)$.
Khi đó, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 6x+4y-3=0$.
Ta thấy đường thẳng $d:6x+4y-3=0$ không đi qua điểm $N\left( 2 ;1 \right)$ nên tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $d$.
Ngoài ra, $\left| z \right|=OM$ nên $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi $OM$ nhỏ nhất, tức là $OM=\text{d}\left( O,d \right)=\dfrac{3}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$.
Vậy $\min \left| z \right|=\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$.
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left| 12-5i \right|.\left| z+\dfrac{17+7i}{12-5i} \right|=13\left| z-2-i \right|\Leftrightarrow \left| z+1+i \right|=\left| z-2-i \right|$ $\left( 1 \right)$.
Gọi $M\left( x ;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$. Vì $z\ne 2+i$ nên $M\ne N\left( 2 ;1 \right)$.
Khi đó, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 6x+4y-3=0$.
Ta thấy đường thẳng $d:6x+4y-3=0$ không đi qua điểm $N\left( 2 ;1 \right)$ nên tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $d$.
Ngoài ra, $\left| z \right|=OM$ nên $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi $OM$ nhỏ nhất, tức là $OM=\text{d}\left( O,d \right)=\dfrac{3}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$.
Vậy $\min \left| z \right|=\dfrac{3\sqrt{13}}{26}$.
Đáp án A.