Google
Câu hỏi: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $\left| z-2-5i \right|=\left| z-3i \right|$, biết rằng $z=x+yi,$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ có mô đun nhỏ nhất. Tính $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.$
A. $P=\dfrac{4}{5}$.
B. $P=5$.
C. $P=\dfrac{25}{4}$
D. $P=\dfrac{25}{2}$.
A. $P=\dfrac{4}{5}$.
B. $P=5$.
C. $P=\dfrac{25}{4}$
D. $P=\dfrac{25}{2}$.
Ta có $\left| z-2-5i \right|=\left| z-3i \right|$
$\Leftrightarrow \left| x+yi-2-5i \right|=\left| x+yi-3i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow x+y-5=0$
$\Leftrightarrow y=5-x$.
Mô đun của số phức $z$ là $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( 5-x \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}-10x+25}$.
Mô đun của số phức $z$ nhỏ nhất là $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ khi $x=\dfrac{5}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{2}$.
$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{2}$.
$\Leftrightarrow \left| x+yi-2-5i \right|=\left| x+yi-3i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow x+y-5=0$
$\Leftrightarrow y=5-x$.
Mô đun của số phức $z$ là $\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( 5-x \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}-10x+25}$.
Mô đun của số phức $z$ nhỏ nhất là $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ khi $x=\dfrac{5}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{2}$.
$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{2}$.
Đáp án D.