Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z-2-4i...

Cách 1: Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Khi đó điều kiện bài toán tương đương:
$|a+bi-2-4i|=|a+bi-2i|\iff |(a-2)+(b-4)i|=|a+(b-2)i|$
$\iff {(a-2)}^2+{(b-4)}^2=a^2+{(b-2)}^2\iff -4a-8b+20=-4b+4\iff a+b=4\iff b=4-a$
Suy ra: $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+{(4-a)}^2}=\sqrt{2a^2-8a+16}=\sqrt{2{(a-2)}^2+8}\ge \sqrt{8}=2\sqrt{2}$
Vậy ${\left|z\right|}_{min}=2\sqrt{2}$ khi $a=2\Rightarrow b=2\Rightarrow a+2b=6$
Cách 2: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , khi đó: $|z-2-4i|=|z-2i|\iff MA=MB$
Trong đó $\{\begin{array}{rl}& A(2;4)\\ & B(0;2)\end{array}$
Suy ra M thuộc đường thẳng trung trực $\mathrm{\Delta }$ của AB với $\mathrm{\Delta }:x+y-4=0$
Ta có: ${\left|z\right|}_{min}=O{M}_{min}\iff M$ là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$
Đường thẳng qua O vuông góc với $\mathrm{\Delta }$ là: $x-y=0$
Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
$\{\begin{array}{rl}& x+y-4=0\\ & x-y=0\end{array}\iff x=y=2\Rightarrow M(2;2)\Rightarrow z=2+2i\Rightarrow$ đáp số: $2+2.2=6$