Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z-2-4i...

Cách 1: Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Khi đó điều kiện bài toán tương đương:
$\left| a+bi-2-4i \right|=\left| a+bi-2i \right|\Leftrightarrow \left| (a-2)+(b-4)i \right|=\left| a+\left( b-2 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -4a-8b+20=-4b+4\Leftrightarrow a+b=4\Leftrightarrow b=4-a$
Suy ra: $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 4-a \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-8a+16}=\sqrt{2{{\left( a-2 \right)}^{2}}+8}\ge \sqrt{8}=2\sqrt{2}$
Vậy ${{\left| z \right|}_{\min }}=2\sqrt{2}$ khi $a=2\Rightarrow b=2\Rightarrow a+2b=6$
Cách 2: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , khi đó: $\left| z-2-4i \right|=\left| z-2i \right|\Leftrightarrow MA=MB$
Trong đó $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 2;4 \right) \\
& B\left( 0;2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra M thuộc đường thẳng trung trực $\Delta $ của AB với $\Delta :x+y-4=0$
Ta có: ${{\left| z \right|}_{\min }}=O{{M}_{\min }}\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng $\Delta $
Đường thẳng qua O vuông góc với $\Delta $ là: $x-y=0$
Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& x+y-4=0 \\
& x-y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=2\Rightarrow M\left( 2;2 \right)\Rightarrow z=2+2i\Rightarrow $ đáp số: $ 2+2.2=6$