Trong các nghiệm $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bất phương trình...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& 2x+y>0 \\
& {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\ne 1 \\
\end{aligned} \right. (*)$
+ Trường hợp 1: ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}>1$
${{\log }_{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} \right)}}\left( 2x+y \right)\ge 1\Leftrightarrow 2x+y\ge {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} (2)$
Theo bất đẳng thức BCS ta có:
$T=2x+y=2.x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}.y\le \sqrt{\left( 4+\dfrac{1}{2} \right)\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)}$
$\Rightarrow T=2x+y\le \sqrt{\dfrac{9}{2}\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)} (3)$
Từ (2) và (3), ta có: ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le 2x+y\le \sqrt{\dfrac{9}{2}\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le \sqrt{\dfrac{9}{2}\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)}\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)}^{2}}\le \dfrac{9}{2}\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le \dfrac{9}{2}$
Từ (3), ta có: $T\le \sqrt{\dfrac{9}{2}\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)}\le \sqrt{\dfrac{9}{2}.\dfrac{9}{2}}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow T\le \dfrac{9}{2}$
+ Trường hợp 2: $0<{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}<1$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}<1 \\
& 2{{y}^{2}}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<x<1 \\
& -\dfrac{1}{\sqrt{2}}<y<\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=2x+y<2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{9}{2}$
Từ 2 trường hợp trên ta có: $\text{Max}T=\dfrac{9}{2}$