Trong các nghiệm $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bất phương trình...

TH1: ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}>1.$ Đặt $z=y\sqrt{2},$ suy ra ${{x}^{2}}+{{z}^{2}}>1\left( 1 \right).$ Khi đó:
${{\log }_{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}\left( 2x+y \right)\ge 1\Leftrightarrow 2x+y\ge {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\Leftrightarrow 2x+\dfrac{z}{\sqrt{2}}\ge {{x}^{2}}+{{z}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}\ge \dfrac{9}{8}\left( 2 \right).$
Tập hợp các điểm $M\left( x;y \right)$ là miền $\left( H \right)$ bao gồm miền ngoài của hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ và miền trong của hình tròn $\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{8}.$
Hệ $\left\{ \begin{aligned}
& T=2x+\dfrac{z}{\sqrt{2}} \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}\ge \dfrac{9}{8} \\
& {{x}^{2}}+{{z}^{2}}>1 \\
\end{aligned} \right. $ có nghiệm khi đường thẳng $ d:2x+\dfrac{z}{\sqrt{2}}-T=0 $ có điểm chung với miền $ \left( H \right).$
Để $T$ đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $d$ phải tiếp xúc với đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right),$ nghĩa là ta có $d\left( I,d \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow \left| T-\dfrac{9}{4} \right|=\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow T=\dfrac{9}{2}$ với $I\left( 1;\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)$ là tâm của đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$.
TH2. $0<{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}<1$ ta có
${{\log }_{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}\left( 2x+y \right)\ge 1\Leftrightarrow 2x+y\le {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\Leftrightarrow T=2x+y<1$ (loại).
Vậy $\max T=\dfrac{9}{2}.$