Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-mz+m+8=0$ ( $m$ là...

Ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4m-32$
Để phương trình đã cho có $2$ nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ phân biệt, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: $\Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-4 \\
& m>8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt $ {{z}_{1}},{{z}_{2}}$
Khi đó, theo định lí Vi-et, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=m \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=m+8 \\
\end{aligned} \right.$
Mà ${{z}_{1}}$ là nghiệm của phương trình nên $z_{1}^{2}-m{{z}_{1}}+m+8=0\Leftrightarrow z_{1}^{2}=m{{z}_{1}}-m-8$ (1)
Theo giả thiết, ta có $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ (2)
Thế (1) vào (2) ta được $\left| {{z}_{1}}\left( m{{z}_{1}}-m-8+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left| \left( m\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)-m-8 \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left| {{m}^{2}}-m-8 \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& \left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left( \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-8>0 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa mãn)
Trường hợp 2: $\Delta <0\Leftrightarrow -4<m<8\Rightarrow $ pt đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$
Khi đó $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left| {{m}^{2}}-m-8 \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-8>0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\dfrac{1-\sqrt{33}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{1+\sqrt{33}}{2};+\infty \right)$
Kết hợp với điều kiện $m\in \mathbb{Z},m\in \left( -4;8 \right)$ ta được $m\in \left\{ -2 \right\}\cup \left\{ 4;5;6;7 \right\}$
Vậy có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.