Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-\left( m-2...

Cách 1.
Ta có $\Delta ={{\left( m-2 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}=-3{{m}^{2}}-4m+4=\left( m+2 \right)\left( -3m+2 \right)$. Ta xét các trường hợp (TH) sau
TH1. $\Delta \ge 0\Leftrightarrow m\in \left[ -2;\dfrac{2}{3} \right]$. Khi đó ta có
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow m=0\text{ (th?a m }\!\!\tilde{\mathrm{a}}\!\!\text{ n)}.$
TH2. $\Delta <0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( \dfrac{2}{3};+\infty \right)$. Ta có ${{z}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2a}$. Kết hợp định lí Vi\`ete, ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=\left| i\sqrt{\left| \Delta \right|} \right|\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=\sqrt{\left| -3{{m}^{2}}-4m+4 \right|}$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+4=\left| -3{{m}^{2}}-4m+4 \right|.$
Chú ý $-3{{m}^{2}}-4m+4<0$ nên ${{m}^{2}}-4m+4=3{{m}^{2}}+4m-4\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m-4=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=-2+2\sqrt{2} \\
m=-2-2\sqrt{2}. \\
\end{array} \right.$
Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn.
Vậy có $3$ giá trị của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2. Theo định lí Viete, ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=m-2$ và ${{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}}$. Suy ra
$|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}{{|}^{2}}=\left| {{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{(m-2)}^{2}}-4{{m}^{2}} \right|=\left| 3{{m}^{2}}+4m-4 \right|.$
Từ giả thiết, ta có${{(m-2)}^{2}}=\left| 3{{m}^{2}}+4m-4 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{(m-2)}^{2}}=3{{m}^{2}}+4m-4 \\
{{(m-2)}^{2}}=-3{{m}^{2}}-4m+4 \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{m}^{2}}+4m-4=0 \\
{{m}^{2}}=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=-2\pm 2\sqrt{2} \\
m=0. \\
\end{array} \right.$
Vậy có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu.