Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$, ( với $a, b$ là tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a,b \right)$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}\left( 1+2i \right)-\left| {{z}_{2}} \right|=-10+10i$ ?
A. $1$
B. $3$
C. $2$
D. $0$
A. $1$
B. $3$
C. $2$
D. $0$
TH1: $\Delta >0$.
Phương trình có hai nghiệm là hai số thực phân biệt
${{z}_{1}}\left( 1+2i \right)-\left| {{z}_{2}} \right|=-10+10i\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}-\left| {{z}_{2}} \right| \right)+2{{z}_{1}}.i=-10+10i\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}-\left| {{z}_{2}} \right|=-10 \\
2{{z}_{1}}=10 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=5 \\
\left| {{z}_{2}} \right|=15 \\
\end{matrix} \right. \right.$
+) ${{z}_{1}}=5;{{z}_{2}}=15$ là hai nghiệm của phương trình
$\left\{ \begin{matrix}
25+5a+b=0 \\
225+15a+b=0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-20 \\
b=75 \\
\end{matrix} \right. \right. $ thỏa mãn $ \Delta >0$
+) ${{z}_{1}}=5;{{z}_{2}}=-15$ là hai nghiệm của phương trình
$\left\{ \begin{matrix}
25+5a+b=0 \\
225-15a+b=0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=10 \\
b=-75 \\
\end{matrix} \right. \right. $ thỏa mãn $ \Delta >0$
TH2: $\Delta <0$
Phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp $\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
${{z}_{1}}\left( 1+2i \right)-\left| {{z}_{2}} \right|=-10+10i\Leftrightarrow {{z}_{1}}\left( 1+2i \right)=\left( \left| {{z}_{1}} \right|-10 \right)+10i\Rightarrow \left| {{z}_{1}}\left( 1+2i \right) \right|=\sqrt{{{\left( \left| {{z}_{1}} \right|-10 \right)}^{2}}+100}$
$\Leftrightarrow 5{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-20\left| {{z}_{1}} \right|+200\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=5$
Thay vào biểu thức ta được ${{z}_{1}}=3+4i\Rightarrow {{z}_{2}}=3-4i$
${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a\Rightarrow a=-6$
${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=b\Rightarrow b=25$
Vậy có 3 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn.
Phương trình có hai nghiệm là hai số thực phân biệt
${{z}_{1}}\left( 1+2i \right)-\left| {{z}_{2}} \right|=-10+10i\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}-\left| {{z}_{2}} \right| \right)+2{{z}_{1}}.i=-10+10i\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}-\left| {{z}_{2}} \right|=-10 \\
2{{z}_{1}}=10 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=5 \\
\left| {{z}_{2}} \right|=15 \\
\end{matrix} \right. \right.$
+) ${{z}_{1}}=5;{{z}_{2}}=15$ là hai nghiệm của phương trình
$\left\{ \begin{matrix}
25+5a+b=0 \\
225+15a+b=0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-20 \\
b=75 \\
\end{matrix} \right. \right. $ thỏa mãn $ \Delta >0$
+) ${{z}_{1}}=5;{{z}_{2}}=-15$ là hai nghiệm của phương trình
$\left\{ \begin{matrix}
25+5a+b=0 \\
225-15a+b=0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=10 \\
b=-75 \\
\end{matrix} \right. \right. $ thỏa mãn $ \Delta >0$
TH2: $\Delta <0$
Phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp $\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
${{z}_{1}}\left( 1+2i \right)-\left| {{z}_{2}} \right|=-10+10i\Leftrightarrow {{z}_{1}}\left( 1+2i \right)=\left( \left| {{z}_{1}} \right|-10 \right)+10i\Rightarrow \left| {{z}_{1}}\left( 1+2i \right) \right|=\sqrt{{{\left( \left| {{z}_{1}} \right|-10 \right)}^{2}}+100}$
$\Leftrightarrow 5{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-20\left| {{z}_{1}} \right|+200\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=5$
Thay vào biểu thức ta được ${{z}_{1}}=3+4i\Rightarrow {{z}_{2}}=3-4i$
${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a\Rightarrow a=-6$
${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=b\Rightarrow b=25$
Vậy có 3 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn.
Đáp án B.