Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Có bao nhiêu cặp số $\left( a,b \right)$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1 \right|=2$ và $\left| {{z}_{2}}-2+3i \right|=3$ ?
A. $4$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $2$.
${{z}^{2}}+az+b=0$
$\Delta ={{a}^{2}}-4b$.
Trường hợp 1: $\Delta >0$, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-1 \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}}-2+3i \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-1=2 \\
& {{z}_{1}}-1=-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \sqrt{{{\left( {{z}_{2}}-2 \right)}^{2}}+9}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{1}}=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{z}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó theo Viet ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-5 \\
& b={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận)
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-1 \\
& {{z}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó theo Viet ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-1 \\
& b={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận)
Trường hợp $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm không thựC. Khi đó ta có ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$.
Gọi ${{z}_{1}}=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{z}_{2}}=x-yi$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& 2x+6y=7 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20} \\
& y=\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20} \\
& y=\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $. Do đó ta có. $ \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. $, ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20} \\
& b=\dfrac{55+9\sqrt{15}}{10} \\
\end{aligned} \right.$ (nhận)
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. $, ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20} \\
& b=\dfrac{55-9\sqrt{15}}{10} \\
\end{aligned} \right.$ (Nhận)
$\Delta ={{a}^{2}}-4b$.
Trường hợp 1: $\Delta >0$, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Khi đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-1 \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}}-2+3i \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-1=2 \\
& {{z}_{1}}-1=-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \sqrt{{{\left( {{z}_{2}}-2 \right)}^{2}}+9}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{1}}=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{z}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó theo Viet ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-5 \\
& b={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận)
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-1 \\
& {{z}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó theo Viet ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-1 \\
& b={{z}_{1}}.{{z}_{2}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$ (nhận)
Trường hợp $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm không thựC. Khi đó ta có ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$.
Gọi ${{z}_{1}}=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{z}_{2}}=x-yi$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& 2x+6y=7 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20} \\
& y=\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20} \\
& y=\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $. Do đó ta có. $ \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15-3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. $, ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{25+9\sqrt{15}}{20} \\
& b=\dfrac{55+9\sqrt{15}}{10} \\
\end{aligned} \right.$ (nhận)
Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}+\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20}-\dfrac{15+3\sqrt{15}}{20}i \\
\end{aligned} \right. $, ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{25-9\sqrt{15}}{20} \\
& b=\dfrac{55-9\sqrt{15}}{10} \\
\end{aligned} \right.$ (Nhận)
Đáp án A.