Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Có bao nhiêu cặp $\left( a;b \right)$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phức là ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{\bar{z}}_{1}}=5+2\sqrt{2}$ ?
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
Xét $\Delta ={{a}^{2}}-4b$
TH1: Nếu $\Delta \ge 0\Rightarrow {{z}_{^{1}}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R}\Rightarrow \left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{{{z}_{1}}}\in \mathbb{R}\ne 5+2\sqrt{2}i$ (loại)
TH2. Nếu $\Delta <0\Rightarrow {{z}_{1,2}}=\dfrac{-a\pm \sqrt{4b-{{a}^{2}}}.i}{2}$
Khi đó $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right).\overline{{{z}_{1}}}=2{{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{1}}}=2{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+z_{2}^{2}=2b+\dfrac{1}{4}\left[ {{a}^{2}}+\left( 4b-{{a}^{2}} \right)\mp 2a\sqrt{4b-{{a}^{2}}}.i \right]$
$=b+\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\pm \dfrac{1}{2}a\sqrt{4b-{{a}^{2}}}.i=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=5 \left( 1 \right) \\
& a\sqrt{4b-{{a}^{2}}}=\pm 4\sqrt{2} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ $\left( 1 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}=10-2b$, $\left( 2 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}\left( 4b-{{a}^{2}} \right)=32$
$\Rightarrow \left( 10-2b \right)\left( 4b-10+2b \right)=32\Leftrightarrow -12{{b}^{2}}+80b-132=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=3\Rightarrow {{a}^{2}}=4 \\
& b=\dfrac{11}{3}\Rightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{8}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a,b \right)=\left( \pm 2;3 \right); \left( \pm \sqrt{\dfrac{8}{3}};\dfrac{11}{3} \right)$.
Cách 2. Xét tương tự cách 1, ở TH2 đặt ${{z}_{1}}=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}=x-yi$
Khi đó $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{{{z}_{1}}}=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow \left[ 2\left( x+yi \right)+\left( x-yi \right) \right]\left( x-yi \right)=5+2\sqrt{2}i$
$\Leftrightarrow \left( 3x+yi \right)\left( x-yi \right)=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5 \left( 1 \right) \\
& -2xy=2\sqrt{2} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow y=-\dfrac{\sqrt{2}}{x}$ thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow 3{{x}^{2}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}=5\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( x,y \right)=\left( -1;\sqrt{2} \right);\left( 1;-\sqrt{2} \right);\left( -\sqrt{\dfrac{2}{3}};\sqrt{3} \right);\left( \sqrt{\dfrac{2}{3}};\sqrt{3} \right)$
Với mỗi cặp $\left( x,y \right)$ theo Viet có $\left\{ \begin{aligned}
& a=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-2x \\
& b={{z}_{1}}{{z}_{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ có 1 cặp $ \left( a,b \right)$ tương ứng.
Vậy có 4 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn.
TH1: Nếu $\Delta \ge 0\Rightarrow {{z}_{^{1}}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R}\Rightarrow \left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{{{z}_{1}}}\in \mathbb{R}\ne 5+2\sqrt{2}i$ (loại)
TH2. Nếu $\Delta <0\Rightarrow {{z}_{1,2}}=\dfrac{-a\pm \sqrt{4b-{{a}^{2}}}.i}{2}$
Khi đó $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right).\overline{{{z}_{1}}}=2{{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{1}}}=2{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+z_{2}^{2}=2b+\dfrac{1}{4}\left[ {{a}^{2}}+\left( 4b-{{a}^{2}} \right)\mp 2a\sqrt{4b-{{a}^{2}}}.i \right]$
$=b+\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\pm \dfrac{1}{2}a\sqrt{4b-{{a}^{2}}}.i=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=5 \left( 1 \right) \\
& a\sqrt{4b-{{a}^{2}}}=\pm 4\sqrt{2} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ $\left( 1 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}=10-2b$, $\left( 2 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}\left( 4b-{{a}^{2}} \right)=32$
$\Rightarrow \left( 10-2b \right)\left( 4b-10+2b \right)=32\Leftrightarrow -12{{b}^{2}}+80b-132=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=3\Rightarrow {{a}^{2}}=4 \\
& b=\dfrac{11}{3}\Rightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{8}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a,b \right)=\left( \pm 2;3 \right); \left( \pm \sqrt{\dfrac{8}{3}};\dfrac{11}{3} \right)$.
Cách 2. Xét tương tự cách 1, ở TH2 đặt ${{z}_{1}}=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}=x-yi$
Khi đó $\left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{{{z}_{1}}}=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow \left[ 2\left( x+yi \right)+\left( x-yi \right) \right]\left( x-yi \right)=5+2\sqrt{2}i$
$\Leftrightarrow \left( 3x+yi \right)\left( x-yi \right)=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy=5+2\sqrt{2}i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5 \left( 1 \right) \\
& -2xy=2\sqrt{2} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ $\left( 2 \right)\Rightarrow y=-\dfrac{\sqrt{2}}{x}$ thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow 3{{x}^{2}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}=5\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( x,y \right)=\left( -1;\sqrt{2} \right);\left( 1;-\sqrt{2} \right);\left( -\sqrt{\dfrac{2}{3}};\sqrt{3} \right);\left( \sqrt{\dfrac{2}{3}};\sqrt{3} \right)$
Với mỗi cặp $\left( x,y \right)$ theo Viet có $\left\{ \begin{aligned}
& a=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-2x \\
& b={{z}_{1}}{{z}_{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ có 1 cặp $ \left( a,b \right)$ tương ứng.
Vậy có 4 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn.
Đáp án C.