Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2\left( m+1...

${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m-7={{m}^{2}}+m-6$.
+) ${\Delta }'=0\Rightarrow {{z}_{1}}={{z}_{2}}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-3 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt $ {{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Khi đó
$\left| {{z}_{1}}+5 \right|=\left| {{z}_{2}}+5 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-10 \\
\end{aligned} \right.$.
${{z}_{1}}={{z}_{2}}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-10\Rightarrow -2\left( m+1 \right)=-10\Rightarrow m=4$ (thỏa mãn).
+) ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -3<m<2\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm phân biệt dạng $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=a+bi \\
& {{z}_{2}}=a-bi \\
\end{aligned} \right.$. Khi đó
$\left| {{z}_{1}}+5 \right|=\left| {{z}_{2}}+5 \right|$ luôn đúng.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& -3<m<2 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0;1;4 \right\}$.