Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, cho phương trình: ${{z}^{2}}-10z+\left| m-1 \right|=0$ $\left( m\in \mathbb{R} \right)$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;90 \right]$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ là một số nguyên dương.
A. $42$.
B. $40$.
C. $36$.
D. $38$.
A. $42$.
B. $40$.
C. $36$.
D. $38$.
Xét $m\in \left[ -10;90 \right]$, ta có ${\Delta }'=25-\left| m-1 \right|$.
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left| m-1 \right|<25\Leftrightarrow -24<m<26$ suy ra $-10\le m<26$.
Phương trình có hai nghiệm thực và ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left| m-1 \right|\ge 0$ nên $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=10$ luôn là một số nguyên dương.
Suy ra có $36$ giá trị $m$.
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow \left| m-1 \right|>25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>26 \\
& m<-24 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ 26<m\le 90$.
Phương trình có hai nghiệm phức không thực ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ do đó
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\left| {{z}_{1}} \right|=2\left| 5+i\sqrt{\left| m-1 \right|-25} \right|=2\sqrt{m-1}$ là một số nguyên dương nên $m-1$ là số chính phương.
Mặt khác $26<m\le 90$ suy ra $25<m-1\le 89$.
Do đó $m-1\in \left\{ 36;49;64;81 \right\}\Rightarrow m\in \left\{ 37;50;65;82 \right\}$ nên có $4$ giá trị $m$.
Vậy có $40$ giá trị $m$.
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left| m-1 \right|<25\Leftrightarrow -24<m<26$ suy ra $-10\le m<26$.
Phương trình có hai nghiệm thực và ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left| m-1 \right|\ge 0$ nên $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=10$ luôn là một số nguyên dương.
Suy ra có $36$ giá trị $m$.
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow \left| m-1 \right|>25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>26 \\
& m<-24 \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ 26<m\le 90$.
Phương trình có hai nghiệm phức không thực ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ do đó
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\left| {{z}_{1}} \right|=2\left| 5+i\sqrt{\left| m-1 \right|-25} \right|=2\sqrt{m-1}$ là một số nguyên dương nên $m-1$ là số chính phương.
Mặt khác $26<m\le 90$ suy ra $25<m-1\le 89$.
Do đó $m-1\in \left\{ 36;49;64;81 \right\}\Rightarrow m\in \left\{ 37;50;65;82 \right\}$ nên có $4$ giá trị $m$.
Vậy có $40$ giá trị $m$.
Đáp án B.