Trên tập hợp số phức, xét phương trình...

${{z}^{2}}-2mz+{{m}^{2}}-2m=0$ (*)
${\Delta }'={{m}^{2}}-({{m}^{2}}-2m)=2m$
TH1: $m>0$ Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt
$\begin{aligned}
& (1)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=m+\sqrt{2m} \\
& z=m-\sqrt{2m} \\
\end{aligned} \right. \\
& (*)\Leftrightarrow {{(m\pm \sqrt{2m})}^{2}}\mp 2m\sqrt{2m}=2\left| {{m}^{2}}-2m \right| \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m=2\left| {{m}^{2}}-2m \right| \\
& \Leftrightarrow m+2=2\left| m-2 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m={{6}^{{}}}(t/m) \\
& m=\dfrac{2}{3}(t/m) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH2: $m<0$ Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt (không thực)
$(1)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=m+\sqrt{-2m}.i \\
& z=m-\sqrt{-2m}.i \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|$
Do đó: ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+m({{z}_{2}}-{{z}_{1}})=2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+m({{z}_{2}}-{{z}_{1}})=2{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow m({{z}_{2}}-{{z}_{1}})={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}\text{ }\left( 2 \right)$
TH2.1: $\left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=m+\sqrt{-2m}.i \\
& {{z}_{2}}=m-\sqrt{-2m}.i \\
\end{aligned} \right.$
$(2)\Leftrightarrow -2m\sqrt{-2m}.i={{m}^{2}}-2m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2m\sqrt{-2m}=0 \\
& {{m}^{2}}-2m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0 $ không thỏa $ m<0$
TH2.2: $\left[ \begin{aligned}
& {{z}_{2}}=m+\sqrt{-2m}.i \\
& {{z}_{1}}=m-\sqrt{-2m}.i \\
\end{aligned} \right.$
$(2)\Leftrightarrow 2m\sqrt{-2m}.i={{m}^{2}}-2m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2m\sqrt{-2m}=0 \\
& {{m}^{2}}-2m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0 $ không thỏa $ m<0$
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là $\left[ \begin{aligned}
& m=6 \\
& m=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$