Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-(m+1)z+\dfrac{{{m}^{2}}+3}{4}+m=0$ ( $m$ là số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. $4$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.
Ta có $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}-3-4m=-2m-2$.
TH1: $\Delta >0\Leftrightarrow m<-1$. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=m+1$, ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}+3}{4}+m$.
Suy ra ${{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}-3-4m=-2m-2$.
Khi đó:
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=2\left( -2m-2 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-5. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện ta nhận $m=-5$.
TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow m>-1$. Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt có phần ảo khác không ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ với ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Suy ra ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=i\sqrt{-\Delta }\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-\Delta }$.
Do đó
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}=2{{\left( \sqrt{-\Delta } \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=2\left( 2m+2 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=3. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện ta nhận $m=3$.
Vậy có hai giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
TH1: $\Delta >0\Leftrightarrow m<-1$. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=m+1$, ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}+3}{4}+m$.
Suy ra ${{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}-3-4m=-2m-2$.
Khi đó:
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=2\left( -2m-2 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-5. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện ta nhận $m=-5$.
TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow m>-1$. Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt có phần ảo khác không ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ với ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Suy ra ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=i\sqrt{-\Delta }\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-\Delta }$.
Do đó
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}=2{{\left( \sqrt{-\Delta } \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=2\left( 2m+2 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=3. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện ta nhận $m=3$.
Vậy có hai giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.