Trên tập hợp số phức, xét phương trình...

Ta có $\Delta '=-2m$.
TH1: $\Delta '>0\Leftrightarrow m<0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là hai số thực.
$\left| {{z}_{1}} \right|=2\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=-2{{z}_{2}} \\
{{z}_{1}}=2{{z}_{2}} \\
\end{matrix} \right.$
Theo viet có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-2m; {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}+2m$.
Nếu ${{z}_{1}}=-2{{z}_{2}}\Rightarrow {{z}_{2}}=2m; {{z}_{1}}=-4m\Rightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=-8{{m}^{2}}={{m}^{2}}+2m\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=0 \\
m=\dfrac{-2}{9} \\
\end{matrix} \right.$
Do $m<0\Rightarrow m=-\dfrac{2}{9}$.
Nếu ${{z}_{1}}=2{{z}_{2}}\Rightarrow {{z}_{2}}=\dfrac{-2m}{3}; {{z}_{1}}=\dfrac{-4m}{3}\Rightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{8}{9}{{m}^{2}}={{m}^{2}}+2m\Leftrightarrow \dfrac{1}{9}{{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=0 \\
m=-18 \\
\end{matrix} \right.$
Do $m<0\Rightarrow m=-18$.
TH2: $\Delta '<0\Leftrightarrow m>0$
Phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp nên $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
$\left| {{z}_{1}} \right|=2\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}=0$.
Thay vào phương trình ta được ${{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow m=0; m=-2$ ( loại).
Vậy $\dfrac{-2}{9}.(-18)=4$.