Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2}-6 z+m=0\left(m\right.$ là tham số thực). Gọi $m_{0}$ là một giá trị nguyên của $m$ đề phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$. Trong khoảng $\left( 0 ; 20 \right)$ có bao nhiêu giá trị nguyên $m_{0}$ ?
A. $13$.
B. $10$.
C. $11$.
D. $12$.
A. $13$.
B. $10$.
C. $11$.
D. $12$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-6z+m=0$
Ta có: ${\Delta }'={{3}^{2}}-m=9-m$.
TH1: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\Leftrightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow 9-m<0\Leftrightarrow m>9$.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}} \\
& {{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{z}_{2}}.{{z}_{1}}$ (luôn đúng)
Vậy $m\in \left( 9 ; +\infty \right)$.
Mà $m\in \mathbb{Z}; m\in \left( 0 ; 20 \right)\Rightarrow m\in \left\{ 10 ; .....; 19 \right\}$.
TH2: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow 9-m>0\Leftrightarrow m<9$.
Ta có: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{1}}={{z}_{2}}.{{z}_{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}}\text{ }\left( L \right) \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\left( N \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0$ (vô lý)
Vậy có $10$ giá trị thỏa mãn.
Ta có: ${\Delta }'={{3}^{2}}-m=9-m$.
TH1: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\Leftrightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow 9-m<0\Leftrightarrow m>9$.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}} \\
& {{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{z}_{2}}.{{z}_{1}}$ (luôn đúng)
Vậy $m\in \left( 9 ; +\infty \right)$.
Mà $m\in \mathbb{Z}; m\in \left( 0 ; 20 \right)\Rightarrow m\in \left\{ 10 ; .....; 19 \right\}$.
TH2: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow 9-m>0\Leftrightarrow m<9$.
Ta có: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{1}}={{z}_{2}}.{{z}_{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}}\text{ }\left( L \right) \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\left( N \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0$ (vô lý)
Vậy có $10$ giá trị thỏa mãn.
Đáp án B.