Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2z+{{m}^{2}}=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn điểm biểu diễn của ${{z}_{0}}$ thuộc đường E-lip có phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-2z+{{m}^{2}}=0$ có ${\Delta }'=1-{{m}^{2}}$.
Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0$ $\Leftrightarrow m\in \left[ -1; 1 \right]$.
Phương trình có các nghiệm là ${{z}_{0}}=1-\sqrt{1-{{m}^{2}}}$ hoặc ${{z}_{0}}=1+\sqrt{1-{{m}^{2}}}$.
Với ${{z}_{0}}=1-\sqrt{1-{{m}^{2}}}$ điểm biểu diễn thuộc E-lip $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$
Do đó ${{\left( 1-\sqrt{1-{{m}^{2}}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{1-{{m}^{2}}}=3\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Với ${{z}_{0}}=1+\sqrt{1-{{m}^{2}}}$ điểm biểu diễn thuộc E-lip $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$
Do đó ${{\left( 1+\sqrt{1-{{m}^{2}}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{1-{{m}^{2}}}=1\Leftrightarrow m=0$.
Trường hợp này giá trị $m=0$ thỏa mãn.
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0$ $\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ; -1 \right)\cup \left( 1; +\infty \right)$.
Phương trình có các nghiệm là ${{z}_{0}}=1-i\sqrt{{{m}^{2}}-1}$ hoặc ${{z}_{0}}=1+i\sqrt{{{m}^{2}}-1}$.
Điểm biểu diễn thuộc E-lip $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$
Do đó $\dfrac{{{1}^{2}}}{4}+{{\left( \pm \sqrt{{{m}^{2}}-1} \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\dfrac{3}{4}=1$ $\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{\dfrac{7}{4}}$ (thỏa mãn).
Trường hợp này giá trị $\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{\dfrac{7}{4}}$ thỏa mãn.
Vậy có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0$ $\Leftrightarrow m\in \left[ -1; 1 \right]$.
Phương trình có các nghiệm là ${{z}_{0}}=1-\sqrt{1-{{m}^{2}}}$ hoặc ${{z}_{0}}=1+\sqrt{1-{{m}^{2}}}$.
Với ${{z}_{0}}=1-\sqrt{1-{{m}^{2}}}$ điểm biểu diễn thuộc E-lip $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$
Do đó ${{\left( 1-\sqrt{1-{{m}^{2}}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{1-{{m}^{2}}}=3\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Với ${{z}_{0}}=1+\sqrt{1-{{m}^{2}}}$ điểm biểu diễn thuộc E-lip $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$
Do đó ${{\left( 1+\sqrt{1-{{m}^{2}}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow \sqrt{1-{{m}^{2}}}=1\Leftrightarrow m=0$.
Trường hợp này giá trị $m=0$ thỏa mãn.
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0$ $\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ; -1 \right)\cup \left( 1; +\infty \right)$.
Phương trình có các nghiệm là ${{z}_{0}}=1-i\sqrt{{{m}^{2}}-1}$ hoặc ${{z}_{0}}=1+i\sqrt{{{m}^{2}}-1}$.
Điểm biểu diễn thuộc E-lip $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$
Do đó $\dfrac{{{1}^{2}}}{4}+{{\left( \pm \sqrt{{{m}^{2}}-1} \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\dfrac{3}{4}=1$ $\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{\dfrac{7}{4}}$ (thỏa mãn).
Trường hợp này giá trị $\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{\dfrac{7}{4}}$ thỏa mãn.
Vậy có $3$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.