Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+1=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=3$ ?
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.
Ta có ${\Delta }'={{\left( m+2 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}-1=4m+3$.
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{4}$. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Vì ${{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}}+1>0$ nên ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ cùng dấu.
Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow 2\left| m+2 \right|=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \left( n \right) \\
& m=-\dfrac{7}{2} \left( l \right). \\
\end{aligned} \right.$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{3}{4}$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \left( l \right) \\
& m=-\dfrac{\sqrt{5}}{2} \left( n \right). \\
\end{aligned} \right.$
Có $2$ giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=3$.
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{4}$. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Vì ${{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}}+1>0$ nên ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ cùng dấu.
Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow 2\left| m+2 \right|=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \left( n \right) \\
& m=-\dfrac{7}{2} \left( l \right). \\
\end{aligned} \right.$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{3}{4}$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \left( l \right) \\
& m=-\dfrac{\sqrt{5}}{2} \left( n \right). \\
\end{aligned} \right.$
Có $2$ giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=3$.
Đáp án C.