Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ( $m$ là số thực). Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ sao cho biểu thức $T={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-10\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị $m$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( \dfrac{3}{2};3 \right)$.
B. $\left[ 1;2 \right)$.
C. $\left( -1;1 \right)$.
D. $\left( 2;+\infty \right)$.
A. $\left( \dfrac{3}{2};3 \right)$.
B. $\left[ 1;2 \right)$.
C. $\left( -1;1 \right)$.
D. $\left( 2;+\infty \right)$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+{{m}^{2}}=0$
Ta có ${\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}$.
TH1: Phương trình có hai nghiệm phức có phần ảo bằng không ${\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}>0$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4m-2 \\
{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}} \\
\end{matrix} \right.$ nên phương trình có hai nghiệm cùng dấu, khi đó:
$T={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-12{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( 4m-2 \right)}^{2}}-12{{m}^{2}}=4{{m}^{2}}-16m+4\ge 4{{\left( m-2 \right)}^{2}}-12\ge -12$.
Đẳng thức xảy ra khi $m=2$ (nhận).
TH2: Phương trình có hai nghiệm phức có phần ảo khác không ${\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}<0$
$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( 3m-1 \right)<0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}<m<1$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4m-2 \\
{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}={{m}^{2}} \\
\end{matrix} \right.$, khi đó:
$T={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-10\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=-8{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}=-8{{m}^{2}}\Rightarrow -8<T<\dfrac{-8}{3}$ (loại).
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-10\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|$ là $-12$ khi $m=2$.
Ta có ${\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}$.
TH1: Phương trình có hai nghiệm phức có phần ảo bằng không ${\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}>0$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4m-2 \\
{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}} \\
\end{matrix} \right.$ nên phương trình có hai nghiệm cùng dấu, khi đó:
$T={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-12{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( 4m-2 \right)}^{2}}-12{{m}^{2}}=4{{m}^{2}}-16m+4\ge 4{{\left( m-2 \right)}^{2}}-12\ge -12$.
Đẳng thức xảy ra khi $m=2$ (nhận).
TH2: Phương trình có hai nghiệm phức có phần ảo khác không ${\Delta }'={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}<0$
$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( 3m-1 \right)<0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}<m<1$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4m-2 \\
{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}={{m}^{2}} \\
\end{matrix} \right.$, khi đó:
$T={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-10\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=-8{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}=-8{{m}^{2}}\Rightarrow -8<T<\dfrac{-8}{3}$ (loại).
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}-10\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|$ là $-12$ khi $m=2$.
Đáp án A.