Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình bậc hai ${{z}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)z+{{m}^{2}}=0=0$ ( với $m$ là số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $2\left( {{z}_{1}}\left| {{z}_{2}} \right|+{{z}_{2}}\left| {{z}_{1}} \right| \right)=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|.$
A. $\dfrac{12}{7}$.
B. $\dfrac{185}{63}$.
C. $0$.
D. $\dfrac{11}{9}$.
A. $\dfrac{12}{7}$.
B. $\dfrac{185}{63}$.
C. $0$.
D. $\dfrac{11}{9}$.
Ta có: ${\Delta }'={{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}=3{{m}^{2}}-12m+9$ ; ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2\left( 2m-3 \right); {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}$
TH1: Nếu ${\Delta }'=3{{m}^{2}}-12m+9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ {{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in \mathbb{R}$.
$2\left( {{z}_{1}}\left| {{z}_{2}} \right|+{{z}_{2}}\left| {{z}_{1}} \right| \right)=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow 4\left[ 2{{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}+2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right| \right]={{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}\Rightarrow 8\left( {{m}^{4}}+{{m}^{4}} \right)={{m}^{4}}\Leftrightarrow m=0$.
Không thỏa mãn điều kiện.
TH2: Nếu ${\Delta }'=3{{m}^{2}}-12m+9<0\Leftrightarrow 1<m<3$ thì ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức và ta có:
$\sqrt{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}}=m$
$2\left( {{z}_{1}}\left| {{z}_{2}} \right|+{{z}_{2}}\left| {{z}_{1}} \right| \right)=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow 2\left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow 2m.2\left( 2m-3 \right)={{m}^{2}}\Leftrightarrow m=\dfrac{12}{7} \left( t/m \right)$.
TH1: Nếu ${\Delta }'=3{{m}^{2}}-12m+9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ {{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in \mathbb{R}$.
$2\left( {{z}_{1}}\left| {{z}_{2}} \right|+{{z}_{2}}\left| {{z}_{1}} \right| \right)=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow 4\left[ 2{{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}+2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right| \right]={{\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)}^{2}}\Rightarrow 8\left( {{m}^{4}}+{{m}^{4}} \right)={{m}^{4}}\Leftrightarrow m=0$.
Không thỏa mãn điều kiện.
TH2: Nếu ${\Delta }'=3{{m}^{2}}-12m+9<0\Leftrightarrow 1<m<3$ thì ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức và ta có:
$\sqrt{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}}=m$
$2\left( {{z}_{1}}\left| {{z}_{2}} \right|+{{z}_{2}}\left| {{z}_{1}} \right| \right)=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow 2\left| {{z}_{1}} \right|\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow 2m.2\left( 2m-3 \right)={{m}^{2}}\Leftrightarrow m=\dfrac{12}{7} \left( t/m \right)$.
Đáp án A.