Trên tập hợp các số phức, xét phương trình...

Ta có $\Delta =4{{a}^{2}}-4{{b}^{2}}+4=4\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)$. Ta xét 3 trường hợp:
+ TH 1: Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có 1 nghiệm thực ${{z}_{1}}={{z}_{2}}$ thay vào giả thiết ${{z}_{1}}+3i{{z}_{2}}=4+3i$ ta thấy không thoả mãn.
+ TH 2: Nếu $\Delta >0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1>0$ (*) thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Khi đó ${{z}_{1}}+3i{{z}_{2}}=4+3i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=4 \\
& {{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Thay ${{z}_{1}}=4;{{z}_{2}}=1$ vào phương trình đã cho ta được $\left\{ \begin{aligned}
& 2a+{{b}^{2}}=0 \\
& 8a+{{b}^{2}}=-15 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{5}{2} \\
& b=\pm \sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$(thoả mãn điều kiện (*)
+ TH 3: Nếu $\Delta <0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1<0$ (**) thì phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp với nhau.
Đặt ${{z}_{1}}=m+ni\Rightarrow {{z}_{2}}=m-ni;\left( m,n\in \mathbb{R} \right)$.
Từ giả thiết ${{z}_{1}}+3i{{z}_{2}}=4+3i$ $\Leftrightarrow m+ni+3i\left( m-ni \right)=4+3i$ $\Leftrightarrow \left( m+3n \right)+\left( 3m+n \right)i=4+3i$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+3n=4 \\
& 3m+n=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{5}{8} \\
& n=\dfrac{9}{8} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{z}_{1}}=\dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i$.
Thay ${{z}_{1}}=\dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i$ vào phương trình ban đầu ta được ${{\left( \dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i \right)}^{2}}+2a\left( \dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i \right)+{{b}^{2}}-1=0$
$\Leftrightarrow \left( -\dfrac{15}{8}+\dfrac{5a}{4}+{{b}^{2}} \right)+\left( \dfrac{9a}{4}+\dfrac{45}{32} \right)i=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{5}{8} \\
& {{b}^{2}}=\dfrac{85}{32} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{5}{8} \\
& b=\pm \dfrac{\sqrt{170}}{8} \\
\end{aligned} \right.$ (thoả mãn (**)
Vậy có 4 cặp số thực $\left( a; b \right)$ thoả mãn.