Trên tập hợp các số phức, xét phương trình...

Ta có . Ta xét 3 trường hợp:
+ TH 1: Nếu thì phương trình có 1 nghiệm thực thay vào giả thiết ta thấy không thoả mãn.
+ TH 2: Nếu (*) thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Khi đó .
Thay vào phương trình đã cho ta được (thoả mãn điều kiện (*)
+ TH 3: Nếu (**) thì phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp với nhau.
Đặt .
Từ giả thiết
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+3n=4 \\
& 3m+n=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{5}{8} \\
& n=\dfrac{9}{8} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {{z}_{1}}=\dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i{{z}_{1}}=\dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i{{\left( \dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i \right)}^{2}}+2a\left( \dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{8}i \right)+{{b}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left( -\dfrac{15}{8}+\dfrac{5a}{4}+{{b}^{2}} \right)+\left( \dfrac{9a}{4}+\dfrac{45}{32} \right)i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{5}{8} \\
& {{b}^{2}}=\dfrac{85}{32} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{5}{8} \\
& b=\pm \dfrac{\sqrt{170}}{8} \\
\end{aligned} \right.\left( a; b \right)$ thoả mãn.