Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-az+{{b}^{2}}+ab-2=0$ ( $a, b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a; b \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $3{{z}_{1}}-4i{{z}_{2}}=2+6i?$
A. 2.
B. 5.
C. 4.
D. 1.
A. 2.
B. 5.
C. 4.
D. 1.
TH1: ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiệm thực. Ta có $3{{z}_{1}}-4i{{z}_{2}}=2+5i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{2}{3} \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{-3}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+ab-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-5}{6} \\
& {{b}^{2}}-\dfrac{5}{6}b-2=\dfrac{2}{3}.\dfrac{-3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-5}{6} \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{3}{2} \\
& b=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$
TH2: ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức. Đặt ${{z}_{1}}=x+iy\Rightarrow {{z}_{2}}=x-iy.$
Ta có $3{{z}_{1}}-4i{{z}_{2}}=2+6i\Leftrightarrow 3\left( x+iy \right)-4i\left( x-iy \right)=2+6i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x+4y=2 \\
& 3y-4x=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-18}{25} \\
& y=\dfrac{26}{25} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+ab-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-36}{25} \\
& {{b}^{2}}-\dfrac{36}{25}b-2=\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-36}{25} \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{18+\sqrt{574}}{25} \\
& b=\dfrac{18-\sqrt{574}}{25} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 4 cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
& {{z}_{1}}=\dfrac{2}{3} \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{-3}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+ab-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-5}{6} \\
& {{b}^{2}}-\dfrac{5}{6}b-2=\dfrac{2}{3}.\dfrac{-3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-5}{6} \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{3}{2} \\
& b=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$
TH2: ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức. Đặt ${{z}_{1}}=x+iy\Rightarrow {{z}_{2}}=x-iy.$
Ta có $3{{z}_{1}}-4i{{z}_{2}}=2+6i\Leftrightarrow 3\left( x+iy \right)-4i\left( x-iy \right)=2+6i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x+4y=2 \\
& 3y-4x=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-18}{25} \\
& y=\dfrac{26}{25} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+ab-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-36}{25} \\
& {{b}^{2}}-\dfrac{36}{25}b-2=\dfrac{8}{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{-36}{25} \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{18+\sqrt{574}}{25} \\
& b=\dfrac{18-\sqrt{574}}{25} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 4 cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
Đáp án C.