Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^4+2(m+2) z^2+3 m+2=0$, ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm $A,B,C,D$ biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 4?
A. Vô số.
B. $1.$
C. $0.$
D. $2.$
A. Vô số.
B. $1.$
C. $0.$
D. $2.$
${{z}^{4}}+2(m+2){{z}^{2}}+3m+2=0\left( 1 \right).$
Đặt $t={{x}^{2}}$ ta được phương trình ${{t}^{2}}+2(m+2)t+3m+2=0\ \left( 2 \right),\ {\Delta }'={{m}^{2}}-m+2>0.$
Do đó $\left( 2 \right)$ luôn có 2 nghiệm thực phân biệt.
Nếu (1) có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm $A,B,C,D$ luôn nằm trên trục hoành hoặc trục tung nên không thỏa mãn.
Do đó $\left( 2 \right)$ phải có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\ ,\left( {{t}_{1}}<0<{{t}_{2}} \right)$ điều kiện là $3m+2<0\Leftrightarrow m<\dfrac{-3}{2}.$
Khi đó $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm ${{x}_{1}}=-\sqrt{-{{t}_{1}}}i,{{x}_{2}}=\sqrt{-{{t}_{1}}}i,{{x}_{3}}=-\sqrt{{{t}_{2}}},{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}.$
Giả sử $A\left( 0;\sqrt{\left| {{t}_{1}} \right|} \right),B\left( \sqrt{{{t}_{2}}};0 \right),C\left( 0;-\sqrt{\left| {{t}_{1}} \right|} \right),D\left( -\sqrt{{{t}_{2}}};0 \right).$
Ta có $ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=2\sqrt{{{t}_{2}}}\sqrt{\left| {{t}_{1}} \right|}=4\Rightarrow \sqrt{-{{t}_{1}}{{t}_{2}}}=2\Rightarrow -{{t}_{1}}.{{t}_{2}}=4$
$-\left( 3m+2 \right)=4\Leftrightarrow m=-2.$ Thỏa mãn điều kiện $m<\dfrac{-3}{2}.$
Đặt $t={{x}^{2}}$ ta được phương trình ${{t}^{2}}+2(m+2)t+3m+2=0\ \left( 2 \right),\ {\Delta }'={{m}^{2}}-m+2>0.$
Do đó $\left( 2 \right)$ luôn có 2 nghiệm thực phân biệt.
Nếu (1) có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm $A,B,C,D$ luôn nằm trên trục hoành hoặc trục tung nên không thỏa mãn.
Do đó $\left( 2 \right)$ phải có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\ ,\left( {{t}_{1}}<0<{{t}_{2}} \right)$ điều kiện là $3m+2<0\Leftrightarrow m<\dfrac{-3}{2}.$
Khi đó $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm ${{x}_{1}}=-\sqrt{-{{t}_{1}}}i,{{x}_{2}}=\sqrt{-{{t}_{1}}}i,{{x}_{3}}=-\sqrt{{{t}_{2}}},{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}.$
Giả sử $A\left( 0;\sqrt{\left| {{t}_{1}} \right|} \right),B\left( \sqrt{{{t}_{2}}};0 \right),C\left( 0;-\sqrt{\left| {{t}_{1}} \right|} \right),D\left( -\sqrt{{{t}_{2}}};0 \right).$
Ta có $ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=2\sqrt{{{t}_{2}}}\sqrt{\left| {{t}_{1}} \right|}=4\Rightarrow \sqrt{-{{t}_{1}}{{t}_{2}}}=2\Rightarrow -{{t}_{1}}.{{t}_{2}}=4$
$-\left( 3m+2 \right)=4\Leftrightarrow m=-2.$ Thỏa mãn điều kiện $m<\dfrac{-3}{2}.$
Đáp án B.