Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2z+m-5=0$ ( $m$ là tham số thực ). Gọi $S$ là tập hợp giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=40$. Tính tổng các phần tử của tập $S$.
A. $2$.
B. $12$.
C. $-3$.
D. $15$.
A. $2$.
B. $12$.
C. $-3$.
D. $15$.
Ta có $\Delta '=6-m$.
+ TH1: $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow m\le 6$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=1\pm \sqrt{6-m}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2 \\
& {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2\sqrt{6-m} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó
${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=40\Leftrightarrow 4+4\left( 6-m \right)=40\Leftrightarrow m=-3$, nhận.
+ TH2: $\Delta '<0\Leftrightarrow 6-m<0\Leftrightarrow m>6$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=1\pm i\sqrt{-\Delta '}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2 \\
& {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2i\sqrt{m-6} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=40\Leftrightarrow 4+4\left( m-6 \right)=40\Leftrightarrow m=15$, nhận.
Tổng các giá trị của $m$ là: $12$.
+ TH1: $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow m\le 6$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=1\pm \sqrt{6-m}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2 \\
& {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2\sqrt{6-m} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó
${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=40\Leftrightarrow 4+4\left( 6-m \right)=40\Leftrightarrow m=-3$, nhận.
+ TH2: $\Delta '<0\Leftrightarrow 6-m<0\Leftrightarrow m>6$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=1\pm i\sqrt{-\Delta '}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2 \\
& {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2i\sqrt{m-6} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=40\Leftrightarrow 4+4\left( m-6 \right)=40\Leftrightarrow m=15$, nhận.
Tổng các giá trị của $m$ là: $12$.
Đáp án B.