Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2-2z+m^2=0}$ (...

Ta có ${z^2-2z+m^2=0}$ $\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=1-{{m}^{2}} \left( 1 \right)$
Trường hợp 1: $1-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -1<m<1$.
Suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm thực phân biệt.
Do đó $\left| 2{{z}_{1}}-1 \right|=\left| 2{{z}_{2}}-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{z}_{1}}-1=2{{z}_{2}}-1 \\
& 2{{z}_{1}}-1=-\left( 2{{z}_{2}}-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$ (không thoả mãn).
Trường hợp 2: $1-{{m}^{2}}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm thực phức ${{z}_{1}}=1+i\sqrt{{{m}^{2}}-1}$ và ${{z}_{2}}=1-i\sqrt{{{m}^{2}}-1}$.
Do đó $\left| 2{{z}_{1}}-1 \right|=\left| 2{{z}_{2}}-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left| 2\left( 1+i\sqrt{{{m}^{2}}-1} \right)-1 \right|=\left| 2\left( 1-i\sqrt{{{m}^{2}}-1} \right)-1 \right|$
$\Leftrightarrow \left| 1+2i\sqrt{{{m}^{2}}-1} \right|=\left| 1-2i\sqrt{{{m}^{2}}-1} \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{{{m}^{2}}-1} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2\sqrt{{{m}^{2}}-1} \right)}^{2}}}$ (luôn đúng).
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right.$ thoả mãn.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ thuộc đoạn ${\left[-10;10 \right]}$ $\Rightarrow m\in \left\{ -10;-9;...;-2;2;...;9;10 \right\}$.
Vậ có 18 giá trị nguyên của ${m}$ thuộc đoạn ${\left[-10;10 \right]}$ thoả mãn.