Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2mz-m+12=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}+m-12$.
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right.$. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=2{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2z_{1}^{2}+2z_{2}^{2}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow 2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|+6{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 2\left| m-12 \right|+6\left( -m+12 \right)={{\left( 2m \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left| m-12 \right|=2{{m}^{2}}+3m-36 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}+3m-36\ge 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}+2m-24=0 \\
& -2{{m}^{2}}-4m+48=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{-3+3\sqrt{33}}{4} \\
& m\le \dfrac{-3-3\sqrt{33}}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=-4; m=3 \\
& m=4; m=-6 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=-6. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -4<m<3$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}=-m+i\sqrt{-{\Delta }'}$, ${{z}_{2}}=-m-i\sqrt{-{\Delta }'}$. Khi đó
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow 2\left| -m+i\sqrt{-{\Delta }'} \right|=2\sqrt{2}\left| i\sqrt{-{\Delta }'} \right| \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}+\left( -{{m}^{2}}-m+12 \right)=2\left( -{{m}^{2}}-m+12 \right)\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+m-12=0 \\
& \Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm \sqrt{97}}{4}. \\
\end{aligned}$
Vậy có $2$ giá trị nguyên $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
TH1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right.$. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=2{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2z_{1}^{2}+2z_{2}^{2}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow 2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|+6{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 2\left| m-12 \right|+6\left( -m+12 \right)={{\left( 2m \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left| m-12 \right|=2{{m}^{2}}+3m-36 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}+3m-36\ge 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}+2m-24=0 \\
& -2{{m}^{2}}-4m+48=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{-3+3\sqrt{33}}{4} \\
& m\le \dfrac{-3-3\sqrt{33}}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m=-4; m=3 \\
& m=4; m=-6 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=-6. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -4<m<3$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}=-m+i\sqrt{-{\Delta }'}$, ${{z}_{2}}=-m-i\sqrt{-{\Delta }'}$. Khi đó
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow 2\left| -m+i\sqrt{-{\Delta }'} \right|=2\sqrt{2}\left| i\sqrt{-{\Delta }'} \right| \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}+\left( -{{m}^{2}}-m+12 \right)=2\left( -{{m}^{2}}-m+12 \right)\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+m-12=0 \\
& \Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm \sqrt{97}}{4}. \\
\end{aligned}$
Vậy có $2$ giá trị nguyên $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.