Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|?$
A. $6$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $3$.
A. $6$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $3$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0\ \ \left( 1 \right)$ có ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12$.
+) TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12<0\Leftrightarrow 2<m<6$.
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ là hai số liên hợp của nhau nên $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
Vậy $2<m<6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 6;+\infty \right)$.
Khi đó phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ phân biệt mà $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Rightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn).
Từ hai trường hợp trên kết hợp với $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ 0;3;4;5 \right\}\Rightarrow $ có $4$ số nguyên $m$ thỏa mãn.
+) TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12<0\Leftrightarrow 2<m<6$.
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ là hai số liên hợp của nhau nên $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
Vậy $2<m<6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 6;+\infty \right)$.
Khi đó phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ phân biệt mà $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Rightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn).
Từ hai trường hợp trên kết hợp với $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ 0;3;4;5 \right\}\Rightarrow $ có $4$ số nguyên $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.