Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+7m-10=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+2{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=3\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|$ ?
A. $5$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-7m+10$
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<2 \\
& m>5 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm thực phân biệt nên ta có:
${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+2{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=3\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \\
& \left| {{z}_{1}} \right|=2\left| {{z}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=2{{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=-2{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
+) $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (nhận)
+) ${{z}_{1}}=2{{z}_{2}}$ không tồn tại $m$
+) ${{z}_{1}}=-2{{z}_{2}}$ không tồn tại
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2<m<5$.
Khi đó các nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ liên hợp nhau nên luôn thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
Vậy ta có các giá trị nguyên của $m$ là $0,3,4$.
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<2 \\
& m>5 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm thực phân biệt nên ta có:
${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+2{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=3\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \\
& \left| {{z}_{1}} \right|=2\left| {{z}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=2{{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=-2{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
+) $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (nhận)
+) ${{z}_{1}}=2{{z}_{2}}$ không tồn tại $m$
+) ${{z}_{1}}=-2{{z}_{2}}$ không tồn tại
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2<m<5$.
Khi đó các nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ liên hợp nhau nên luôn thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
Vậy ta có các giá trị nguyên của $m$ là $0,3,4$.
Đáp án C.