Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=6$ ?
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Ta có ${\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-{{m}^{2}}=2m+1$.
+) Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=6\Leftrightarrow {{z}_{0}}=\pm 6$.
* Thay ${{z}_{0}}=6$ vào phương trình ta được $36-12\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-12m+24=0\Leftrightarrow m=6\pm 2\sqrt{3}$ (thoả mãn).
* Thay ${{z}_{0}}=-6$ vào phương trình ta được
$36+12\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+12m+48=0$ (vô nghiệm).
+) Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2m+1<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\notin \mathbb{R}$ thỏa ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$. Khi đó ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{m}^{2}}={{6}^{2}}$ hay $m=6$ (loại) hoặc $m=-6$ (nhận).
Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $m=6\pm 2\sqrt{3}$ và $m=-6$.
+) Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=6\Leftrightarrow {{z}_{0}}=\pm 6$.
* Thay ${{z}_{0}}=6$ vào phương trình ta được $36-12\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-12m+24=0\Leftrightarrow m=6\pm 2\sqrt{3}$ (thoả mãn).
* Thay ${{z}_{0}}=-6$ vào phương trình ta được
$36+12\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+12m+48=0$ (vô nghiệm).
+) Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2m+1<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\notin \mathbb{R}$ thỏa ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$. Khi đó ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{m}^{2}}={{6}^{2}}$ hay $m=6$ (loại) hoặc $m=-6$ (nhận).
Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $m=6\pm 2\sqrt{3}$ và $m=-6$.
Đáp án D.